Equazione di primo grado con rapporti e radici

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Equazione di primo grado con rapporti e radici #22563

avt
giu
Punto
Riscontro delle difficoltà nel risolvere le equazioni di primo grado con i radicali. Nonostante abbia applicato le regole giuste non riesco mai a ottenere il risultato. Potreste aiutarmi?

Determinare l'insieme delle soluzioni associato all'equazione di primo grado a coefficienti irrazionali

3-\frac{x-2}{\sqrt{3}-1}-\frac{2x}{\sqrt{3}+1}=0
 
 

Equazione di primo grado con rapporti e radici #22565

avt
Omega
Amministratore
Il nostro compito consiste nel risolvere l'equazione di primo grado a coefficienti irrazionali

3-\frac{x-2}{\sqrt{3}-1}-\frac{2x}{\sqrt{3}+1}=0

Per prima cosa, portiamo le frazioni a denominatore comune

\frac{3(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)-(\sqrt{3}+1)(x-2)-2x(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}=0

Cancelliamo il denominatore e iniziamo a svolgere i calcoli al numeratore

3(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)-(\sqrt{3}+1)(x-2)-2x(\sqrt{3}-1)=0

(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1) è il prodotto tra una somma e una differenza dunque possiamo avvalerci della regola relativa alla differenza di quadrati che permette di riesprimere l'equazione come segue:

3\cdot (3-1)-(\sqrt{3}+1)(x-2)-2x(\sqrt{3}-1)=0

Svolgiamo le operazioni rimaste così da sbarazzarci delle parentesi tonde

\\ 3\cdot (3-1)-(\sqrt{3}+1)(x-2)-2x(\sqrt{3}-1)=0 \\ \\ 3\cdot 2-(\sqrt{3}x-2\sqrt{3}+x-2)-2\sqrt{3}x+2x=0

Utilizziamo la regola dei segni ottenendo

6-\sqrt{3}x+2\sqrt{3}-x+2-2\sqrt{3}x+2x=0

Trasportiamo i termini senza incognita al secondo membro cambiando i loro segni

-\sqrt{3}x-x-2\sqrt{3}x+2x=-6-2\sqrt{3}-2

e sommiamo tra loro i termini simili

\\ -3\sqrt{3}x+x=-8-2\sqrt{3} \\ \\ (1-3\sqrt{3})x=-8-2\sqrt{3}

Non ci resta che dividere i due membri per 1-3\sqrt{3} ricavando così

x=\frac{-8-2\sqrt{3}}{1-3\sqrt{3}}

Osserviamo che essa è la soluzione dell'equazione, ma non è espressa nella sua forma più semplice, ecco perché razionalizziamo il denominatore moltiplicando e dividendo per 1+3\sqrt{3}

x=\frac{(-8-2\sqrt{3})(1+3\sqrt{3})}{(1-3\sqrt{3})(1+3\sqrt{3})}

Lasciamo da parte la soluzione e svolgiamo con calma i calcoli, iniziando dal prodotto al denominatore. In virtù del prodotto notevole sul prodotto di una somma per una differenza, possiamo scrivere:

(1-3\sqrt{3})(1+3\sqrt{3})=1-[3\sqrt{3}]^2=

che grazie alle proprietà delle potenze diventa

=1-3^2(\sqrt{3})^2=1-9\cdot 3=1-27=-26

Occupiamoci del prodotto al numeratore

(-8-2\sqrt{3})(1+3\sqrt{3})=-8-24\sqrt{3}-2\sqrt{3}-2\sqrt{3}\cdot 3\sqrt{3}=

Eseguiamo i prodotti tra i radicali

\\ =-8-24\sqrt{3}-2\sqrt{3}-6\cdot 3= \\ \\ =-8-24\sqrt{3}-2\sqrt{3}-18= -26-26\sqrt{3}

Possiamo quindi riscrivere la soluzione come segue:

x=\frac{-26-26\sqrt{3}}{-26}=\frac{-26(1+\sqrt{3})}{-26}

Non ci resta che ridurre la frazione ai minimi termini e concludere che la soluzione dell'equazione è

x=1+\sqrt{3}
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Os