Esercizio: scomposizione differenza di due cubi

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Esercizio: scomposizione differenza di due cubi #22290

avt
birbantone92
Cerchio
Mi serve una mano per scomporre un polinomio con un prodotto notevole che non riesco mai a ricordare: quello sulla differenza di cubi. Ho provato e riprovato: il risultato non vuole venire fuori.

Scrivere il seguente binomio come prodotto di fattori irriducibili, avvalendosi delle opportune tecniche di scomposizione:

64a^3-27b^3

Grazie mille.
 
 

Esercizio: scomposizione differenza di due cubi #22321

avt
Omega
Amministratore
L'esercizio ci chiede di scomporre il polinomio

64a^3-27b^3

senza specificare le tecniche di fattorizzazione da utilizzare: in realtà dovrebbe essere pressoché evidente che siamo in presenza della differenza tra due cubi e dunque già sappiamo qual è la tecnica di scomposizione migliore!

Usiamo il prodotto notevole:

A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)

che consente di esprimere la differenza di cubi mediante il prodotto tra la differenza delle loro basi e il trinomio formato dal quadrato della prima base, da quello della seconda e dal prodotto delle due basi.

La regola può essere quindi utilizzata se e solo se conosciamo le basi dei due cubi. Nel caso considerato:

- il termine 64a^3 è il cubo di 4a, infatti per le proprietà delle potenze:

(4a)^3=4^3\cdot a^3=64 a^3

- il termine 27b^3 è il cubo di 3b, infatti:

(3b)^3=3^3\cdot b^3=27 b^3

Deduciamo quindi che le basi dei due cubi sono:

A=4a \ \ \ \mbox{e} \ \ \ B=3b

e, grazie al prodotto notevole, ricaviamo che lo sviluppo richiesto è:

\\ 64a^3-27b^3=(4a-3b)((4a)^2+4a\cdot 3b+(3b)^2)= \\ \\ =(4a-3b)(16a^2+12ab+9b^2)

Prima di mettere un punto all'esercizio, sottolineiamo che il trinomio 16a^2+12ab+9b^2 è un falso quadrato e in quanto tale è irriducibile.

Abbiamo finito.
Ringraziano: Pi Greco, matteo
  • Pagina:
  • 1
Os