Equazione fratta con valore assoluto

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Equazione fratta con valore assoluto #2198

avt
904
Sfera
Avrei bisogno di una mano per risolvere un'equazione fratta in cui compare un valore assoluto. Ho provato a studiare il segno dell'argomento così da sbarazzarmi del modulo, però i conti sono davvero troppi.

Determinare l'insieme delle soluzioni associato all'equazione

\left|\frac{2x^2}{x+1}\right|=1

Grazie.
 
 

Equazione fratta con valore assoluto #2212

avt
Ifrit
Ambasciatore
Prima di ricavare le eventuali soluzioni dell'equazione fratta

\left|\frac{2x^2}{x+1}\right|=1

bisogna innanzitutto imporre le condizioni di esistenza. Affinché l'equazione non perda di significato, richiederemo che il denominatore x+1 sia diverso da zero

C.E.: \ x+1\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ x\ne -1

Noto l'insieme di esistenza delle soluzioni, possiamo procedere con i passaggi algebrici. Osserviamo che l'equazione si presenta nella forma

\left|A(x)\right|=b \ \ \ \mbox{con} \ b>0

infatti il primo membro è composto esclusivamente da un modulo, mentre il secondo è un numero reale positivo. In accordo con la teoria delle equazioni con valore assoluto, l'insieme delle soluzioni dell'equazione |A(x)|=b coincide con l'unione degli insiemi soluzioni delle equazioni

A(x)=-b \ \ \ , \ \ \ A(x)=b

Nel nostro caso, è sufficiente ricavare gli insiemi soluzioni delle equazioni

\frac{2x^2}{x+1}=1 \ \ \ , \ \ \ \frac{2x^2}{x+1}=-1

e considerarne l'unione. Per semplificare il nostro lavoro, analizziamole singolarmente partendo dalla prima

\frac{2x^2}{x+1}=1

Per x+1\ne 0, possiamo moltiplicare i due membri per x+1 e studiare l'equazione di secondo grado

2x^2=x+1 \ \ \ \to \ \ \ 2x^2-x-1=0

e i valori che la soddisfano si ottengono con la seguente formula:

\\ x_{1,2}=\frac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot 2\cdot (-1)}}{4}=\frac{1\pm \sqrt{9}}{4}=\\ \\ \\ =\frac{1\pm 3}{4}=\begin{cases}-\frac{1}{2}=x_1\\ \\ 1=x_2\end{cases}

Occupiamoci dell'altra equazione fratta, ossia

\frac{2x^2}{x+1}=-1

Per x+1\ne 0, moltiplichiamo i due membri per x+1, ricavando così la relazione

2x^2=-x-1\ \ \ \to \ \ \ 2x^2+x+1=0

Abbiamo ottenuto di nuovo un'equazione di secondo grado, la quale però non ammette soluzioni perché il discriminante associato è negativo, infatti:

\Delta=1^2-4\cdot 2\cdot 1=1-8=-7<0

per cui l'equazione fratta

\frac{2x^2}{x+1}=-1

non ammette soluzioni.

Con le informazioni in nostro possesso, concludiamo che l'equazione iniziale è soddisfatta per

x=-\frac{1}{2} \ \ \ , \ \ \ x=1

Abbiamo finito!
Ringraziano: Omega
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Os