Equazione fratta di primo grado con razionalizzazione

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Equazione fratta di primo grado con razionalizzazione #21789

avt
latorre7
Punto
In un esercizio sulle equazioni fratte di primo grado mi viene chiesto di determinare l'insieme soluzione. Il problema è che nell'equazione compaiono radicali e sinceramente non so come agire. Ho bisogno del vostro aiuto.

Esplicitare l'insieme soluzione associato alla seguente equazione fratta a coefficienti irrazionali

\frac{2}{\sqrt{2}x-1}+\frac{\sqrt{2}+1}{2x^2-1}=\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}x+1}
 
 

Equazione fratta di primo grado con razionalizzazione #21808

avt
Omega
Amministratore
Consideriamo l'equazione fratta di primo grado

\frac{2}{\sqrt{2}x-1}+\frac{\sqrt{2}+1}{2x^2-1}=\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}x+1}

Sebbene siano presenti radicali, il procedimento logico che conduce alle eventuali soluzioni non cambia. Per prima cosa scomponiamo il polinomio 2x^2-1 vedendolo come una differenza dei quadrati di \sqrt{2}x\ \mbox{e} \ 1

2x^2-1=(\sqrt{2}x-1)(\sqrt{2}x+1)

dunque l'equazione si riscrive come

\frac{2}{\sqrt{2}x-1}+\frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2}x-1)(\sqrt{2}x+1)}=\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}x+1}

Determiniamo l'insieme di esistenza associato all'equazione, imponendo che i denominatori contenenti l'incognita siano non nulli: ricordiamo infatti che non è possibile dividere per zero.

Imponiamo che il primo denominatore sia diverso da zero

\sqrt{2}x-1\ne 0 \ \ \to \ \ \sqrt{2}x\ne 1 \ \ \to \ \ x\ne \frac{1}{\sqrt{2}}

Occupiamoci del secondo denominatore

(\sqrt{2}x-1)(\sqrt{2}x+1)\ne 0

In questa circostanza interviene la legge di annullamento del prodotto: essa garantisce che il prodotto al primo membro è non nullo se e solo se entrambi i fattori sono diversi da zero

\\ \sqrt{2}x-1\ne 0 \ \ \to \ \ x\ne \frac{1}{\sqrt{2}} \\  \\ \\ \sqrt{2}x+1\ne 0 \ \ \to \ \ x\ne -\frac{1}{\sqrt{2}}

Per quanto concerne l'ultimo denominatore, dobbiamo pretendere che sussista la seguente disuguaglianza

\sqrt{2}x+1\ne 0 \ \ \to \ \ x\ne -\frac{1}{\sqrt{2}}

In definitiva

C.E.: \ x\ne -\frac{1}{\sqrt{2}} \ \wedge \ x\ne\frac{1}{\sqrt{2}}

dove \wedge indica il connettivo logico "e".

Determinate le condizioni di esistenza possiamo continuare con la risoluzione dell'equazione. Portiamo tutti i termini al primo membro prestando la massima attenzione ai segni e determiniamo il minimo comune multiplo tra i polinomi a denominatore.

\\ \frac{2}{\sqrt{2}x-1}+\frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2}x-1)(\sqrt{2}x+1)}-\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}x+1}=0 \\ \\ \\ \frac{2(\sqrt{2}x+1)+\sqrt{2}+1-(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}x-1)}{(\sqrt{2}x-1)(\sqrt{2}x+1)}=0

Sotto le condizioni di esistenza, il denominatore può essere cancellato e per via del secondo principio di equivalenza, ricaviamo l'equazione equivalente:

2(\sqrt{2}x+1)+\sqrt{2}+1-(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}x-1)=0

Sviluppiamo i prodotti

2\sqrt{2}x+2+\sqrt{2}+1-(\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}x-\sqrt{2}+\sqrt{2}x-1)=0

utilizziamo la regola dei segni e sbarazziamoci delle parentesi tonde.

2\sqrt{2}x+2+\sqrt{2}+1-(\sqrt{2})^2x+\sqrt{2}-\sqrt{2}x+1=0

da cui

2\sqrt{2}x+2+\sqrt{2}+1-2x+\sqrt{2}-\sqrt{2}x+1=0

Ci siamo sostanzialmente ricondotti a un'equazione di primo grado che possiamo studiare isolando i termini con l'incognita a sinistra e trasportando quelli senza incognita a destra, modificando il loro segno

2\sqrt{2}x-2x-\sqrt{2}x=-2-1-\sqrt{2}-1-\sqrt{2}

Sommiamo tra loro i termini simili

(\sqrt{2}-2)x=-4-2\sqrt{2}

e raccogliamo totalmente -2 a destra dell'uguale

(\sqrt{2}-2)x=-2(2+\sqrt{2})

Dividiamo i due membri per il coefficiente di x

x=-\frac{2(2+\sqrt{2})}{\sqrt{2}-2}

e razionalizziamo il denominatore moltiplicando e dividendo per \sqrt{2}+2

x=-\frac{2(2+\sqrt{2})(\sqrt{2}+2)}{(\sqrt{2}-2)(\sqrt{2}+2)} \ \ \to \ \ x=-\frac{2(2+\sqrt{2})^2}{(\sqrt{2}+2)(\sqrt{2}-2)}

Sviluppiamo il quadrato al numeratore mediante la regola del quadrato di binomio, mentre il denominatore è a conti fatti una differenza di quadrati

x=-\frac{2(4+4\sqrt{2}+2)}{(\sqrt{2})^2-2^2} \ \ \to \ \ x=-\frac{2(6+4\sqrt{2})}{-2}

Riducendo la frazione ai minimi termini, ricaviamo la soluzione nella sua forma più semplice

x=6+4\sqrt{2}

Concludiamo pertanto che l'equazione è determinata e l'insieme soluzione associato è S=\{6+4\sqrt{2}\}.
Ringraziano: Pi Greco
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Os