Equazione goniometrica elementare con arcoseno

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Equazione goniometrica elementare con arcoseno #21640

avt
FAQ
Punto
Ho bisogno del vostro aiuto per risolvere un'equazione goniometrica elementare in seno in cui è necessario utilizzare l'arcoseno per esplicitare le soluzioni. Non avendo mai fatto nulla del genere, ho bisogno che qualcuno mi spieghi come bisogna comportarsi in questi casi.

Determinare tutte le soluzioni della seguente equazione goniometrica

\sin(x)=\frac{3}{4}

Grazie.
Ringraziano: LittleMar, Ifrit, matteo, Danni, angiolet89, paperino
 
 

Equazione goniometrica elementare con arcoseno #21669

avt
Ifrit
Ambasciatore
Consideriamo l'equazione goniometrica

\sin(x)=\frac{3}{4}

Il nostro compito consiste nel determinare i valori di x che realizzano l'uguaglianza. L'equazione è già espressa in forma normale e il secondo membro è compreso tra -1\ \mbox{e}\ 1: sotto queste condizioni, la teoria garantisce che l'equazione ammette soluzioni.

Per ricavarle, avvaliamoci della circonferenza goniometrica, ossia quella circonferenza di centro nell'origine degli assi cartesiani e raggio 1.

Una volta riportata nel piano cartesiano OXY e tracciata la retta di equazione Y=\frac{3}{4}, ci accorgiamo che la retta interseca la circonferenza in due punti.

I raggi che congiungono l'origine con le intersezioni generano due angoli: essi rappresentano le soluzioni dell'equazione compresi tra 0\ \mbox{e} \ 2\pi.

Esercizi equazioni goniometriche elementari 5

Purtroppo \frac{3}{4} non è un valore noto del seno, per cui dobbiamo ricorrere necessariamente all'arcoseno:

x=\arcsin\left(\frac{3}{4}\right) \ \ \ \vee \ \ \ x=\pi-\arcsin\left(\frac{3}{4}\right)

Attenzione! Ribadiamo che questi sono le (uniche) soluzioni riferite all'intervallo 0\le x<2\pi, però ce ne sono moltissime altre che si ricavano sfruttando la periodicità del seno.

Poiché il seno è una funzione periodica di periodo T=2\pi, le soluzioni dell'equazione sono:

x=\arcsin\left(\frac{3}{4}\right)+2k\pi \ \ \ \vee \ \ \ x=\pi-\arcsin\left(\frac{3}{4}\right)+2k\pi

dove k è un parametro libero di variare nell'insieme dei numeri interi.

Abbiamo finito.
Ringraziano: Pi Greco, Danni, angiolet89, paperino
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Os