Sistemi di equazioni, come scegliere il metodo di risoluzione?

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Sistemi di equazioni, come scegliere il metodo di risoluzione? #21328

avt
roberto.k
Punto
Ciao, mi potreste dire in merito alla risoluzione di sistemi di equazioni come scegliere il metodo di risoluzione? Quando è consigliabile utilizzare il metodo grafico, il metodo di sostituzione, il metodo del confronto o il metodo di riduzione?

Grazie mille

Sono nuova, ciao
 
 

Sistemi di equazioni, come scegliere il metodo di risoluzione? #21347

avt
Omega
Amministratore
Ciao Roberto.k, benvenuto in YouMath!

In merito ai sistemi di equazioni, vale sempre un'unica regola aurea: il metodo migliore è quello più conveniente, cioè il metodo che ti permette:

- di arrivare alla soluzione (e tante grazie! emt )

- di arrivare alla soluzione con il minor numero di calcoli possibili e con il minore sforzo possibile.

I metodi di risoluzione dei sistemi di equazioni (non solamente per sistemi lineari) sono in generale

1) Metodo di sostituzione

2) Metodo di riduzione

3) Metodo del confronto

4) Metodo di Cramer

Di questi primi quattro metodi molto dipende dal gusto personale, i miei preferiti sono ad esempio i metodi di sostituzione e di Cramer.

Per quanto riguarda il

5) Metodo grafico

è particolarmente utile e consigliabile quando nel sistema compaiono equazioni che descrivono luoghi geometrici piani facilmente riconoscibili: rette, circonferenze, parabole, ellissi, iperboli (e coniche in generale). Questo metodo è molto duttile e comodo, e si presta bene per quei sistemi per i quali è richiesto di calcolare il numero di soluzioni oppure di effettuare uno studio dell'esistenza di eventuali soluzioni.

Si applica spesso e volentieri quando non interessa il valore numerico delle soluzioni quanto più l'esistenza e la cardinalità(*) dell'insieme delle soluzioni

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Questo è ciò che mi sento di dirti per cominciare: se vuoi e se ti interessano, posso postarti alcuni esempi emt

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(*) La cardinalità di un insieme è il numero di elementi dell'insieme.
Ringraziano: Pi Greco, Danni, roberto.k

Re: Sistemi di equazioni, come scegliere il metodo di risoluzione? #21488

avt
Danni
Sfera
Ciao roberto.k, benvenuto pure da parte mia emt Sbaglio o ci siamo già visti da qualche parte? emt

I metodi di risoluzione per i sistemi di primo grado, che immagino siano quelli a cui ti riferisci, vanno benissimo anche per i sistemi di grado superiore al primo, fatta eccezione per la regola di Cramer che interessa solo i sistemi lineari.

Quale metodo scegliere? Quello che ci piace di più, ovvero quello che ci consente il massimo rendimento con il minimo sforzo.

La sostituzione è la più gettonata. Personalmente preferisco il metodo di riduzione perché offre una risoluzione del sistema praticamente immediata. La riduzione ti consente anche di passare da un sistema ad esempio di quarto grado, piuttosto ostico, ad un comodo sistema di secondo grado. Ne farai buon uso in Geometria Analitica, per determinare le intersezioni di due circonferenze o per risolvere quei noiosi sistemi in a, b, c che portano all'equazione di una parabola. Va benissimo quindi anche per i sistemi formati da tre o più equazioni.

Ma torniamo al primo grado.
Un sistemino facile facile con coefficienti delle incognite e termini noti 'ragionevoli' è risolvibile indifferentemente, un metodo vale l'altro.

Se però le cose si complicano, ecco venire in aiuto il mio metodo preferito, la riduzione. Devi solo stare attenta ai segni ma questa è una legge generale, comunque valida.

Consideriamo per esempio il sistema

\begin{cases}3x - 4y = - 25 \\4x + 3y = 25\end{cases}

Notiamo che i termini in y sono di segno opposto. Se moltiplichiamo entrambi i membri della prima equazione per 3 (coefficiente della y 'di sotto') ed entrambi i membri della seconda equazione per 4 (coefficiente della y 'di sopra'), abbiamo questa situazione:

\begin{cases}9x - 12y = - 75 \\ 16x + 12y = 100\end{cases}

Ora sommiamo membro a membro ed otteniamo subito

25x = 25

ovvero

x = 1

Abbiamo quindi il sistema

\begin{cases}x = 1 \\ 4x + 3y = 25\end{cases}

Basta ora sostituire il valore di x nella seconda equazione ottenendo facilmente

\begin{cases}x = 1 \\ y = \frac{25 - 4}{3}\end{cases}

ed il nostro sistema è risolto:

\begin{cases}x = 1 \\ y = 7\end{caes}{

Se le variabili hanno invece segni concordi, provvediamo noi a renderli discordi:

\begin{cases}5x + 2y = 16 \\ 4x + y = 11\end{cases}

Moltiplichiamo entrambi i membri della prima per - 1 ed entrambi i membri della seconda per 2:

\begin{cases}- 5x - 2y = - 16 \\ 8x + 2y = 22\end{cases}

Sommiamo membro a membro ed otteniamo

3x = 6

x = 2

Quindi

\begin{cases}x = 2 \\ y = 11 - 8 = 3\end{cases}

\begin{cases}x = 2 \\ y = 3\end{cases}

Un consiglio che ti do prima di cominciare la risoluzione di un sistema lineare: accertati che il sistema non sia impossibile o indeterminato.
Come possiamo stabilirlo a priori? Algebricamente con lo studio dei rapporti tra i coefficienti ed analiticamente (metodo grafico)con lo studio del coefficiente angolare e dell'intercetta.

Dato il sistema

\begin{cases}ax + by + c = 0 \\ a'x + b'y + c' = 0\end{cases}

se risulta

\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'}

il sistema è indeterminato.

Se risulta

\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} \neq\frac{c}{c'}

il sistema è impossibile.

Analiticamente, in un sistema formato dalle equazioni di due rette sotto forma esplicita

\begin{cases}y = mx + q \\ y = m'x + q'\end{cases}

dove \;m\; è il coefficiente angolare e \;q\; è l'intercetta,

se risulta

m = m'

q = q'

il sistema è indeterminato.
Le rette sono coincidenti, ovvero ogni punto della prima è anche punto della seconda e viceversa. Il sistema ha infinite soluzioni.

mentre se risulta

m = m'

q \neq q'

il sistema è impossibile.
Le rette sono parallele (stesso coefficiente angolare)e non hanno quindi intersezione. Il sistema non ha soluzione.

Un capitolo a parte riguarda i sistemi di secondo grado o superiore che si risolvono con particolari artifici e i sistemi simmetrici facilmente risolvibili con equazioni ausiliarie, ma penso che questo discorso lo affronterai fra qualche tempo... emt

Quando hai dubbi, invia l'esercizio che ti riesce difficile ed avrai sempre una spiegazione ed una risposta alle tue domande.

Ciao* emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, roberto.k

Re: Sistemi di equazioni, come scegliere il metodo di risoluzione? #21492

avt
roberto.k
Punto
Mille grazie per l'aiuto! emt
Ringraziano: Omega, Danni
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Os