Determinare il numero di soluzioni di un'equazione

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Determinare il numero di soluzioni di un'equazione #21199

avt
ahimè!
Punto
Ho fatto una simulazione di seconda prova giovedì scorso e tra i quesiti proposti c'era uno che riguardava il numero di soluzioni di un'equazione.

L'esercizio chiede di determinare il numero di soluzioni dell'equazione

x - 2x^2 + e^x = 0

e di trovare un intervallo che le contiene.

Qualcuno saprebbe dirmi che procedimenti devo fare?

Grazie! emt
 
 

Re: Determinare il numero di soluzioni di un'equazione #21400

avt
Omega
Amministratore
Vediamo come risolvere l'esercizio: l'equazione proposta non può essere risolta algebricamente, cosicché lo svolgimento dell'esercizio prevede di:

1- determinare se l'equazione è risolubile, cioè se ammette almeno una soluzione;

2- in caso affermativo, determinare il numero di soluzioni dell'equazione.

Per rispondere al punto 1- possiamo ricorrere al teorema degli zeri di Bolzano: consideriamo, dall'equazione

x - 2x^2 + e^x = 0

la funzione f(x)=x-2x^2+e^x. Tale funzione è continua sull'intero asse reale, dunque in accordo con il teorema degli zeri si tratta di individuare un intervallo [a,b] tale per cui

f(a)\cdot f(b)<0

Se ad esempio valutiamo la funzione nei punti x=-1,x=0 troviamo rispettivamente

f(-1)=-3+\frac{1}{e}<0

f(0)=1>0

quindi f(-1)\cdot f(0)<0, e quindi la funzione soddisfa il teorema degli zeri di Bolzano sull'intervallo [-1,0]. Il teorema garantisce l'esistenza di almeno uno zero della funzione interno a tale intervallo, il punto 1- è andato.

Per determinare il numero di soluzioni dell'equazione, e dunque per rispondere al punto 2-, possiamo riscrivere l'equazione nella forma

e^x = 2x^2-x

qualsiasi soluzione dell'equazione è tale che le funzioni g(x)=e^x,h(x)=2x^2-x assumano in corrispondenza di essa lo stesso valore.

D'altra parte, l'equazione

g(x)=h(x)

può essere letta in termini grafici e possiamo interpretare le soluzioni dell'equazione come punti di intersezione tra il grafico della funzione g(x), una semplice esponenziale, e i grafico della funzione h(x), una parabola.

Disegnando i due grafici si vede subito che vi è un solo punto di intersezione, e dunque una e una sola soluzione per l'equazione.

Ahimnumerodisoluzioniequazione confrontografico
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit

Re: Determinare il numero di soluzioni di un'equazione #21418

avt
ahimè!
Punto
Grazie mille Omega, non avevo proprio pensato al teorema degli zeri!
Ringraziano: Omega, Ifrit
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Os