Determinare il numero di soluzioni di un'equazione

Ho fatto una simulazione di seconda prova giovedì scorso e tra i quesiti proposti c'era uno che riguardava il numero di soluzioni di un'equazione.

L'esercizio chiede di determinare il numero di soluzioni dell'equazione

e di trovare un intervallo che le contiene.

Qualcuno saprebbe dirmi che procedimenti devo fare?

Grazie!

Vediamo come risolvere l'esercizio: l'equazione proposta non può essere risolta algebricamente, cosicché lo svolgimento dell'esercizio prevede di:

1- determinare se l'equazione è risolubile, cioè se ammette almeno una soluzione;

2- in caso affermativo, determinare il numero di soluzioni dell'equazione.

Per rispondere al punto 1- possiamo ricorrere al teorema degli zeri di Bolzano: consideriamo, dall'equazione

la funzione . Tale funzione è continua sull'intero asse reale, dunque in accordo con il teorema degli zeri si tratta di individuare un intervallo tale per cui

Se ad esempio valutiamo la funzione nei punti troviamo rispettivamente

quindi , e quindi la funzione soddisfa il teorema degli zeri di Bolzano sull'intervallo . Il teorema garantisce l'esistenza di almeno uno zero della funzione interno a tale intervallo, il punto 1- è andato.

Per determinare il numero di soluzioni dell'equazione, e dunque per rispondere al punto 2-, possiamo riscrivere l'equazione nella forma

qualsiasi soluzione dell'equazione è tale che le funzioni assumano in corrispondenza di essa lo stesso valore.

D'altra parte, l'equazione

può essere letta in termini grafici e possiamo interpretare le soluzioni dell'equazione come punti di intersezione tra il grafico della funzione , una semplice esponenziale, e i grafico della funzione , una parabola.

Disegnando i due grafici si vede subito che vi è un solo punto di intersezione, e dunque una e una sola soluzione per l'equazione.

Grazie mille Omega, non avevo proprio pensato al teorema degli zeri!