Esercizio su divisione tra polinomi con quoziente e resto

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Esercizio su divisione tra polinomi con quoziente e resto #2108

avt
FAQ
Punto
Ho bisogno di una mano per svolgere la divisione tra due polinomi (in colonna). Sinceramente non ho proprio capito l'algoritmo che consente di ricavare il quoziente e il resto. Potreste aiutarmi?

Calcolare la seguente divisione in colonna, esplicitando il quoziente e il resto. Controllare la correttezza dell'esercizio effettuando la prova.

(6x^2+5x-14):(3x+1)

Grazie.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, CarFaby
 
 

Esercizio su divisione tra polinomi con quoziente e resto #11728

avt
Ifrit
Ambasciatore
L'esercizio ci chiede di calcolare il quoziente Q(x) e il resto R(x) della divisione tra polinomi

(6x^2+5x-14):(3x+1)

e di controllare in seguito la correttezza dei risultati. Il nostro intento è quello di dividere il polinomio

N(x)=6x^2+5x-14

detto polinomio dividendo, per il binomio

D(x)=3x+1

detto polinomio divisore, così da ricavare altri due polinomi Q(x)\ \mbox{e} \ R(x) che rispettano la seguente uguaglianza:

N(x)=Q(x)\cdot D(x)+R(x)

In altre parole, Q(x)\ \mbox{e} \ R(x) consentono di esprimere il dividendo come la somma tra il resto e il prodotto tra divisore e quoziente.

Sia chiaro che prima di svolgere qualsiasi passaggio bisogna controllare che N(x)\ \mbox{e} \ D(x) siano

- polinomi ordinati secondo le potenze decrescenti di x: in questo caso il dividendo e il divisore sono entrambi ordinati;

- polinomi completi rispetto all'indeterminata, in caso contrario bisogna inserire i zeri segnaposto per le potenze mancanti di x: siamo fortunati, N(x)\ \mbox{e} \ D(x) sono polinomi completi.

Dopo queste premesse, disponiamo i polinomi N(x)\ \ \mbox{e} \ \ D(x) nella tipica tabella:

\begin{array}{rrr|rr}6x^2&+5x&-14&3x&+1\\ \cline{4-5}&&&&\\\end{array}

Calcoliamo il primo quoziente parziale dividendo il termine di grado massimo del dividendo (6x^2) per quello di grado massimo del divisore (3x) e riportiamo il risultato sotto divisore: 6x^2:3x=2x

\begin{array}{rrr|rr}6x^2&+5x&-14&3x&+1\\ \cline{4-5}&&&2x&\\\end{array}

Moltiplichiamo il quoziente parziale per ciascun termine del divisore, riportando i vari prodotti cambiati di segno al di sotto del dividendo, incolonnati rispetto al grado.

\begin{array}{rrr|rr}6x^2&+5x&-14&3x&+1\\ \cline{4-5}&&&2x& \\ -6x^2&-2x&& \\ \cline{1-3}&&&&\end{array}

Sommiamo i termini in colonna così da ricavare il primo resto parziale.

\begin{array}{rrr|rr}6x^2&+5x&-14&3x&+1\\ \cline{4-5}&&&2x& \\ -6x^2&-2x&& \\ \cline{1-3}//&3x&-14&&\end{array}

Si osservi che il grado del resto parziale è uguale a quello del polinomio dividendo, pertanto saremo costretti a ripetere la procedura.

Dividiamo il termine di grado massimo del resto parziale per quello di grado massimo del divisore, (3x:3x=1) e aggiungiamo il risultato al quoziente parziale

\begin{array}{rrr|rr}6x^2&+5x&-14&3x&+1\\ \cline{4-5}&&&2x&+1 \\ -6x^2&-2x&& \\ \cline{1-3}//&3x&-14&&\end{array}

Moltiplichiamo 1 per ciascun termine di 3x+1 e incolonniamo i risultati, cambiati di segno al di sotto del resto parziale

\begin{array}{rrr|rr}6x^2&+5x&-14&3x&+1\\ \cline{4-5}&&&2x&+1 \\ -6x^2&-2x&& \\ \cline{1-3}//&3x&-14&&\\ &&&& \\ &-3x&-1&&\\ \cline{2-3}&&&&\end{array}

Sommiamo tra loro i termini e riportiamo il totale sotto la linea di separazione

\begin{array}{rrr|rr}6x^2&+5x&-14&3x&+1\\ \cline{4-5}&&&2x&+1 \\ -6x^2&-2x&& \\ \cline{1-3}//&3x&-14&&\\ &&&& \\ &-3x&-1&&\\ \cline{2-3}&//&-15&&\end{array}

Il resto ottenuto ha grado zero che è minore del grado del divisore: l'algoritmo della divisione è giunto al termine. Possiamo affermare che il polinomio quoziente e il polinomio resto valgono rispettivamente

Q(x)=2x+1 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ R(x)=-15

Per controllare la correttezza dell'operazione basta verificare che sussista l'uguaglianza

N(x)=Q(x)D(x)+R(x)

ossia

6x^2+5x-14=(2x+1)(3x+1)+(-15)

Esplicitiamo il prodotto tra i polinomi a destra

6x^2+5x-14=6x^2+3x+2x+1-15

e infine sommiamo i termini simili tra loro

6x^2+5x-14=6x^2+5x-14

Il polinomio a sinistra è identico al polinomio di destra, pertanto i risultati ottenuti sono corretti.

Abbiamo finito.
Ringraziano: Pi Greco, CarFaby
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Os