Equazione di primo grado con frazioni e radici

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Equazione di primo grado con frazioni e radici #21049

avt
Nukerina
Punto
Avrei un problema nel risolvere un'equazione di primo grado con i radicali a denominatore. Sinceramente non capisco cosa devo fare per ottenere il risultato. Potreste aiutarmi?

Risolvere la seguente equazione di primo grado

3x-\sqrt{3}x=\frac{6x}{3-\sqrt{3}}-12
 
 

Equazione di primo grado con frazioni e radici #21101

avt
Omega
Amministratore
Dobbiamo determinare l'insieme soluzione dell'equazione di primo grado

3x-\sqrt{3}x=\frac{6x}{3-\sqrt{3}}-12

e per farlo, possiamo prima di tutto razionalizzare il denominatore 3-\sqrt{3} moltiplicando e dividendo la frazione per 3+\sqrt{3}

3x-\sqrt{3}x=\frac{6x (3+\sqrt{3})}{(3-\sqrt{3})(3+\sqrt{3})}-12

in questo modo possiamo calcolare il prodotto tra la somma e differenza ricavando

3x-\sqrt{3}x=\frac{6x (3+\sqrt{3})}{3^2-(\sqrt{3})^2}-12

ossia

3x-\sqrt{3}x=\frac{6x (3+\sqrt{3})}{9-3}-12

Eseguiamo la sottrazione e semplifichiamo

\\ 3x-\sqrt{3}x=\frac{6x (3+\sqrt{3})}{6}-12 \\ \\ \\ 3x-\sqrt{3}x=x(3+\sqrt{3})-12

A questo punto eseguiamo il prodotto al secondo membro così da sbarazzarci delle parentesi tonde

3x-\sqrt{3}x=3x+\sqrt{3}x-12

Trasportiamo tutti i termini con l'incognita al primo membro e quelli senza al secondo, cambiando opportunamente i segni

3x-\sqrt{3}x-3x-\sqrt{3}x=12

Sommiamo tra loro i termini simili

-2\sqrt{3}x=12

cambiamo i segni

2\sqrt{3}x=12

e dividiamo infine per 2\sqrt{3}

x=\frac{12}{2\sqrt{3}}

Per scrivere il risultato in forma normale, razionalizziamo il denominatore moltiplicando e dividendo per \sqrt{3}

x=\frac{12\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} \ \ \to \ \ x=\frac{12\sqrt{3}}{2\cdot 3}

Riduciamo la frazione ai minimi termini ricavando così la soluzione dell'equazione

x=2\sqrt{3}

Traiamo le dovute conclusioni: l'equazione è determinata e il suo insieme soluzione è S=\{2\sqrt{3}\}.
Ringraziano: Pi Greco
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