Esercizio sul quoziente tra polinomio e monomio con frazioni

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Esercizio sul quoziente tra polinomio e monomio con frazioni #2101

avt
mery
Cerchio
Non riesco a svolgere la divisione tra un polinomio e un monomio, entrambi a coefficienti fratti, perché ho poca dimestichezza con le frazioni. Potreste aiutarmi, per favore?

Esprimere in forma normale il quoziente della seguente divisione

\left(\frac{1}{4}x^4-5a^3x^5+2ax^3\right):\left(-\frac{1}{3}x^3\right)

Grazie.
 
 

Esercizio sul quoziente tra polinomio e monomio con frazioni #2208

avt
Omega
Amministratore
In generale, prima di calcolare il quoziente della divisione tra un polinomio e un monomio, occorre verificare che sia soddisfatta la condizione di divisibilità: un polinomio è divisibile per un monomio se e solo se i suoi termini sono divisibili per il monomio dato.

Nella divisione

\left(\frac{1}{4}x^4-5a^3x^5+2ax^3\right):\left(-\frac{1}{3}x^3\right)

i termini del polinomio sono:

\frac{1}{4}x^4 \ \ \ , \ \ \ -5a^{3}x^{5} \ \ \ \mbox{e} \ \ \ 2ax^3

e sono tutti divisibili per il monomio -\frac{1}{3}x^3, pertanto il risultato sarà a sua volta un polinomio. Per calcolarlo, basta distribuire il monomio divisore a tutti i termini del polinomio (è la proprietà distributiva della divisione rispetto all'addizione) e passare dall'espressione

\left(\frac{1}{4}x^4-5a^3x^5+2ax^3\right):\left(-\frac{1}{3}x^3\right)=

all'espressione

=\left(\frac{1}{4}x^4\right):\left(-\frac{1}{3}x^{3}\right)+\left(-5a^3x^5\right):\left(-\frac{1}{3}x^3\right)+(2ax^3):\left(-\frac{1}{3}x^{3}\right)=

Svolgiamo le divisioni tra i monomi, dividendo tra loro i coefficienti e le parti letterali.

Osserviamo che interverrà la regola sul quoziente di due potenze con la stessa base, per stabilire gli esponenti da attribuire alle lettere che comporranno le parti letterali dei quozienti parziali.

\\ =\left[\left(\frac{1}{4}\right):\left(-\frac{1}{3}\right)\right]x^{4-3}+\left[(-5):\left(-\frac{1}{3}\right)\right]a^3x^{5-3}+\left[2:\left(-\frac{1}{3}\right)\right]ax^{3-3}= \\ \\ \\ =\left[\left(\frac{1}{4}\right):\left(-\frac{1}{3}\right)\right]x+\left[(-5):\left(-\frac{1}{3}\right)\right]a^3x^{2}+\left[2:\left(-\frac{1}{3}\right)\right]ax^{0}=\\ \\ \\ =\left[\left(\frac{1}{4}\right):\left(-\frac{1}{3}\right)\right]x+\left[(-5):\left(-\frac{1}{3}\right)\right]a^3x^2+\left[2:\left(-\frac{1}{3}\right)\right]a=

Svolgiamo le divisioni tra le frazioni trasformandole nel prodotto tra i dividendi e i reciproci delle frazioni divisori. In questa circostanza, ci tornerà utile la regola dei segni per stabilire il segno dei vari quozienti.

\\ =\left[\left(\frac{1}{4}\right)\cdot\left(-3\right)\right]x+\left[(-5)\cdot\left(-3\right)\right]a^3x^2+\left[2\cdot\left(-3\right)\right]a= \\ \\ \\ =-\frac{3}{4}x+15a^3x^2-6a

Abbiamo finito.
Ringraziano: Ifrit
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Os