Equazione goniometrica con confronto tra coseni

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Equazione goniometrica con confronto tra coseni #2004

avt
xavier310
Sfera
Ho bisogno del vostro aiuto per risolvere un'equazione goniometrica con due coseni per la quale è richiesto il metodo del confronto. Ho provato a svolgerla, fallendo miseramente.

Ricavare le soluzioni della seguente equazione goniometrica

\cos(2x)=\cos(3x+\pi)

Grazie.
 
 

Equazione goniometrica con confronto tra coseni #2124

avt
Ifrit
Ambasciatore
Prima di risolvere l'equazione goniometrica

\cos(2x)=\cos(3x+\pi)

facciamo un breve ripasso teorico. Se osserviamo bene, l'equazione è espressa nella forma normale

\cos(f(x))=\cos(g(x))

per cui si risolve avvalendosi della seguente regola: due angoli hanno lo stesso coseno se differiscono di un numero intero di angoli giri, oppure se uno di essi differisce per un numero intero di angoli giri dall'opposto dell'altro. In simboli matematici:

\cos(f(x))=\cos(g(x))

se e solo se

f(x)=g(x)+2k\pi \ \ \ \vee \ \ \ f(x)=-g(x)+2k\pi

Applicando la regola all'equazione

\cos(2x)=\cos(3x+\pi)

ci riconduciamo alle seguenti equazioni di primo grado nell'incognita x:

2x=3x+\pi+2k\pi \ \ \ \vee \ \ \ 2x=-3x-\pi+2k\pi

Calcoliamo le soluzioni analizzandole una alla volta partendo dalla prima:

2x=3x+\pi+2k\pi \ \ \ \to \ \ \ -x=\pi+2k\pi\ \ \ \to \ \ \ x=-\pi-2k\pi

Per quanto riguarda la seconda, ossia:

2x=-3x-\pi+2k\pi

trasportiamo -3x al primo membro

5x=-\pi+2k\pi

e dividiamo a destra e a sinistra per il coefficiente di x

x=-\frac{\pi}{5}+\frac{2k\pi}{5}

Finalmente siamo in grado di affermare che l'equazione

\cos(2x)=\cos(3x+\pi)

è soddisfatta dalle seguenti famiglie di soluzioni:

x=-\pi-2k\pi \ \ \ \vee \ \ \ x=-\frac{\pi}{5}+\frac{2k\pi}{5}

al variare di k nell'insieme dei numeri interi.

Osservazione: la famiglia di soluzioni x=-\frac{\pi}{5}+\frac{2k\pi}{5} comprende anche le soluzioni della famiglia x=-\pi-2k\pi, per cui possiamo semplificare il risultato, considerando esclusivamente la prima.
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