Disequazione goniometrica con seni e coseni, esercizio

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Disequazione goniometrica con seni e coseni, esercizio #19356

  • JohnnyR
  • avt
  • Cerchio
Ciao a tutti!

Potreste aiutarmi a risolvere questa disequazione goniometrica con seni e coseni, spiegandomela passaggio per passaggio? La prof ha spiegato l'argomento ma io non l'ho capito proprio!

3 senx cosx - sqrt(3) cos^2x < 3 senx - sqrt(3) cosx

Grazie! emt

 
 
 

Disequazione goniometrica con seni e coseni, esercizio #19384

  • Omega
  • avt
  • Amministratore
Ciao JohnnyR emt

Per risolvere la disequazione

3 \sin{(x)}\cos{(x)} - \sqrt{3}\cos^2{(x)}<3 \sin{(x)} - \sqrt{3}\cos{(x)}

puoi procedere riscrivendola nella forma

3 \sin{(x)}\cos{(x)} - \sqrt{3}\cos^2{(x)}-3 \sin{(x)} + \sqrt{3}\cos{(x)}<0

ed effettuando un raccoglimento parziale: dai primi due addendi raccogli \sqrt{3}\cos{(x)} mentre dagli ultimi due raccogli \sqrt{3}:

\sqrt{3}\cos{(x)}(\sqrt{3}\sin{(x)} - \cos{(x)})-\sqrt{3}(\sqrt{3}\sin{(x)} - \cos{(x)})<0

e dunque

(\sqrt{3}\cos{(x)}-\sqrt{3})(\sqrt{3}\sin{(x)} - \cos{(x)})<0

Ora non resta che studiare il segno dei due fattori risolvendo le disequazioni

\sqrt{3}\cos{(x)}-\sqrt{3}>0\to \cos{(x)}>1

\sqrt{3}\sin{(x)} - \cos{(x)}>0

e poi selezionando gli intervalli che garantiscono un segno negativo per il prodotto. Sai risolvere queste due disequazioni? emt

Ringraziano: Pi Greco, LittleMar, JohnnyR

Disequazione goniometrica con seni e coseni, esercizio #19396

  • JohnnyR
  • avt
  • Cerchio
Veramente è proprio la parte finale il problema!!Non capisco come prendere gli intervalli!

Disequazione goniometrica con seni e coseni, esercizio #19397

  • Omega
  • avt
  • Amministratore
Ok emt

Per la prima disequazione

\cos{(x)}>1

basta osservare che il coseno assume valori compresi tra -1,+1, dunque la disequazione è impossibile (il che, in termini di grafico, equivale ad una linea tratteggiata su tutto l'asse reale, perché il fattore che prendiamo in considerazione è ovunque negativo)

Per la seconda disequazione

\sqrt{3}\sin{(x)} - \cos{(x)}>0

possiamo procedere con il metodo grafico, o con le formule parametriche per seno e coseno (a te la scelta!). Ad esempio, con il metodo grafico consideriamo prima i valori di ascissa in cui il fattore [\sqrt{3}\sin{(x)} - \cos{(x)}] si annulla

\sqrt{3}\sin{(x)} - \cos{(x)}=0\to \tan{(x)}=\frac{1}{\sqrt{3}}

vale a dire, limitandoci all'intervallo 0\leq x\leq 2\pi

x=\frac{\pi}{6},x=\frac{7}{6}\pi

Poi si confrontano i grafici di y=\sqrt{3}\sin{(x)} e di y=\cos{(x)} e si risolve

\sqrt{3}\sin{(x)}>\cos{(x)}

Il grafico è il seguente

JohnnyRgraficotrigonometricheperdisequazione


per cui ne deduciamo che la disequazione \sqrt{3}\sin{(x)}>\cos{(x)}, limitatamente all'intervallo 0\leq x\leq 2\pi, ha soluzioni \frac{\pi}{6}<x<\frac{7}{6}\pi.

[EDIT - Grazie alla segnalazione di Ispirato]

La disequazione ci chiede le soluzioni che rendono il prodotto negativo, sicché essendo il primo fattore ovunque negativo dobbiamo proprio prendere

\frac{\pi}{6}<x<\frac{7}{6}\pi

ed estendendo le soluzioni all'intero asse reale, otteniamo

\frac{\pi}{6}+2k\pi<x<\frac{7}{6}\pi+2k\pi

[/EDIT]

Ecco fatto emt

Ringraziano: Pi Greco

Disequazione goniometrica con seni e coseni, esercizio #19479

  • Ispirato
  • avt
  • Visitatore
Ciao emt
Direi che possiamo partire dalla:

(\sqrt{3}\cos{(x)}-\sqrt{3})(\sqrt{3}\sin{(x)} - \cos{(x)})<0
cioè:
(cos{(x)}-1)(\sqrt{3}\sin{(x)} - \cos{(x)})<0

Studiamo il segno dei due fattori. Riguardo al primo, vediamo dove:

cos{(x)}-1>0;

ma sappiamo che

-1 \leq cos{(x)}\leq1

pertanto il primo fattore non è mai positivo e quindi è negativo per ogni valore di x, esclusi quelli nei quali è nullo.

Consideriamo il secondo fattore:

\sqrt{3}\sin{(x)} - \cos{(x)}>0.

Dato che il caso si presta, risolviamolo con il metodo dell'angolo aggiunto:

\frac{\sqrt{3}}{2}sin{(x)} - \frac{1}{2}cos{(x)}>0,
cioè:
cos(\frac{\pi}{6})sin{(x)} - sin(\frac{\pi}{6})cos{(x)}>0

sin(x-\frac{\pi}{6})>0

verificata in:

{tex}2k\pi<x-\frac{\pi}{6}< \pi+2k\pi, con \; k\in\mathbb{Z}.
{/tex}

cioè:

\frac{\pi}{6}+2k\pi<x<\frac{\pi}{6}+ \pi+2k\pi,

\frac{\pi}{6}+2k\pi<x<\frac{\7\pi}{6}+ 2k\pi,

Essendo il primo fattore sempre negativo (ad esclusione di 2k\pi dove è nullo) e siccome il prodotto dei due fattori deve essere negativo, allora la nostra disequazione deve essere verificata nello stesso intervallo che verifica la positività del secondo fattore, per cui essa è verificata in:

\frac{\pi}{6}+2k\pi<x<\frac{\7\pi}{6}+ 2k\pi,

(nota che x = 2k \pi non ne fa parte)

Ciao emt

Disequazione goniometrica con seni e coseni, esercizio #19484

  • Omega
  • avt
  • Amministratore
Ecco, appunto emt Alla fine invece ho bellamente pensato di prendere le soluzioni positive dimenticandomi che il simbolo di disequazione era <, e ho toppato sulla linea di arrivo! emt

Grazie per essere intervenuto, Ispirato! emt Appena ho un istante modifico il mio precedente messaggio di modo da non trarre in inganno nessuno emt

Ringraziano: JohnnyR

Disequazione goniometrica con seni e coseni, esercizio #19501

  • JohnnyR
  • avt
  • Cerchio
Grazie ad entrambi!!!!!

Ringraziano: Omega
  • Pagina:
  • 1
Os