Problem di Geometria con sistema di equazioni (trapezio isoscele)

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Problem di Geometria con sistema di equazioni (trapezio isoscele) #19155

avt
marklycons
Cerchio
Salve, vorrei capire un problema di Geometria da risolvere con un sistema di equazioni. Il problema riguarda un trapezio isoscele.

In un trapezio isoscele i lati obliqui formano con la base maggiore angoli di 45°; sommando ai 4/9 della base maggiore 1/3 della minore si ottiene 17a, mentre aggiungendo 4a all'altezza e sottraendo 5a alla base minore si ottengono segmenti di uguale lunghezza. Determina le lunghezze delle basi e l'area del trapezio.

So che il problema va risolto con un sistema di equazioni, ma non ho capito come imporle! :(
 
 

Problem di Geometria con sistema di equazioni (trapezio isoscele) #19191

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Mark! Iniziamo...Dai dati sappiamo che

\begin{cases}\frac{4}{9}B+\frac{1}{3}b=17a\\4a+h=b-5a\end{cases}

dove B e b sono rispettivamente la base maggiore e la base minore, mentre h è l'altezza del trapezio isoscele.

Poiché sappiamo che i lati obliqui formano con la base maggiore un angolo di 45 gradi allora necessariamente il triangolo che ha per lati l'altezza h, il segmento p_{l_o} e il lato obliquo l_o è un triangolo rettangolo isoscele.

trapezioisoscele


In particolare sappiamo che:

p_{l_o}=h= \frac{B-b}{2}

Cosa abbiamo fatto? Abbiamo espresso l'altezza in funzione delle basi.

Sostituiamo nel sistema:

\begin{cases}\frac{4}{9}B+\frac{1}{3}b=17a\\4a+\frac{B-b}{2}=b-5a\end{cases}

Ok: ci troviamo di fronte ad un sistema lineare di due equazioni in due incognite b,B. Attenzione che a è un parametro, non è un'incognita.

Scriviamo il sistema in forma normale

\begin{cases}\frac{4}{9}B+\frac{1}{3}b=17a\\\frac{B-b}{2}-b=-9a\end{cases}

Da cui

\begin{cases}\frac{4}{9}B+\frac{1}{3}b=17a\\\frac{B-b-2b}{2}=-9a\end{cases}

\begin{cases}\frac{4B+3b}{9}=17a\\\frac{B-3b}{2}=-9a\end{cases}

Da cui

\begin{cases}4B+3b=9\cdot 17a\\B-3b=2\cdot (-9a)\end{cases}

\begin{cases}4B+3b=153a\\B-3b=-18a\end{cases}

Risolviamo il sistema per sostituzione: dalla seconda equazione abbiamo che:

B= -18a+3b

Sostituiamo nella prima equazione:

\begin{cases}4(-18a+3b)+3b=153a\\B=-18a+3b\end{cases}

Da cui:

\begin{cases}4(-18a+3b)+3b=153a\\B=-18a+3b\end{cases}

Consideriamo la prima equazione:

4(-18a+3b)+3b= 153a\iff -72a+12b+3b=153a

15b= 153a+72a\iff 15b= 225a\iff b= 15a

Di conseguenza

B= -18a+3b= -18a+3\cdot 15a=

= -18a+45a= 27a

Mentre l'altezza è:

h=\frac{B-b}{2}= \frac{27a-15a}{2}=\frac{12a}{2} = 6a
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Danni

Problem di Geometria con sistema di equazioni (trapezio isoscele) #19196

avt
marklycons
Cerchio
Oh, grazie mille davvero!!! emt
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Os