Equazione goniometrica omogenea con il coseno

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Equazione goniometrica omogenea con il coseno #19058

avt
La principessa sul pisello
Visitatore
Salve, avrei un'equazione goniometrica con il coseno da risolvere. È uno dei primi esercizi del libro e penso di debba risolvere con una sostituzione opportuna.

Risolvere la seguente equazione goniometrica

\cos\left(\frac{\pi}{9}-x\right)=0

Grazie.
 
 

Equazione goniometrica omogenea con il coseno #19064

avt
Ifrit
Ambasciatore
L'equazione goniometrica

\cos\left(\frac{\pi}{9}-x\right)=0

è praticamente in forma elementare. Per risolverla nella maniera più semplice possibile poniamo:

\frac{\pi}{9}-x=t

così che l'equazione diventi

\cos(t)=0

In accordo con la tabella dei valori notevoli del coseno, esso è nullo se il suo argomento vale \frac{\pi}{2} a meno di multipli interi di \pi, ossia

t=\frac{\pi}{2}+k\pi\ \ \ \mbox{con}\ k\in\mathbb{Z}

A questo punto ripristiniamo l'incognita x tenendo conto della sostituzione

t= \frac{\pi}{9}-x

mediante la quale ricaviamo

\frac{\pi}{9}-x= \frac{\pi}{2}+k\pi

Risolviamo l'equazione di primo grado isolando l'incognita x al primo membro ottenendo la famiglia di soluzioni:

x=-\frac{7}{18}\pi-k\pi

al variare di k nell'insieme dei numeri relativi.

Metodo alternativo

Le equazioni goniometriche sembrano capricciose perché pare che abbiano ogni volta una soluzione diversa. I risultati degli stessi libri scolastici fanno pensare 'accidenti ho sbagliato' quando invece la soluzione è esatta.

Sappiamo che la funzione coseno è pari, quindi è sempre vera l'uguaglianza

\cos(-\alpha)=\cos(\alpha)\ \ \ \mbox{per ogni} \ \alpha\in\mathbb{R}

da cui discende l'identità

\cos\left(\frac{\pi}{9}-x\right)=\cos\left(x- \frac{\pi}{9}\right) \ \ \ \mbox{per ogni} \ x\in\mathbb{R}

Sfruttando l'ultima relazione, riscriviamo l'equazione data nella forma

\cos\left(x-\frac{\pi}{9}\right)=0

da cui

\\ x-\frac{\pi}{9}=\frac{\pi}{2}+k\pi \\ \\ \\ x= \frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{9}+k\pi

e infine

x = \frac{11}{18}\pi + k\pi \ \ \ \mbox{per ogni} \ k\in\mathbb{Z}

Essa è valida quanto la famiglia di soluzioni ricavata in precedenza, infatti, per la periodicità si ha

\frac{11}{18}\pi-\pi= \frac{-7}{18}\pi

Ciò dimostra che i rappresentanti delle due famiglie differiscono di multipli interi del periodo e dunque esse sono equivalenti nel senso che individuano il medesimo insieme delle soluzioni.

Nota: non spaventarti quindi se dopo un esercizio il tuo risultato è diverso da quello del libro. Aggiungi o togli la periodicità e vedi che la tua soluzione è altrettanto esatta, sempre che tu non abbia sbagliato qualcosina.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Danni
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Os