Esercizio su equazione lineare trigonometrica con metodo grafico

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Esercizio su equazione lineare trigonometrica con metodo grafico #18990

avt
FAQ
Frattale
Avrei bisogno del vostro aiuto per risolvere il seguente esercizio sulle equazioni lineari in seno e coseno, in cui mi si chiede di utilizzare il metodo del passaggio al sistema e l'interpretazione geometrica dei risultati. Sinceramente non ho idea di come si faccia.

Calcolare l'insieme delle soluzioni associato all'equazione lineare in seno e coseno

sin(x)+cos(x) = 3

utilizzando il metodo del passaggio al sistema e interpretando geometricamente il risultato.
Ringraziano: Pi Greco, Brin, SweetLove
 
 

Esercizio su equazione lineare trigonometrica con metodo grafico #18993

avt
Omega
Amministratore
Consideriamo l'equazione lineare in seno e coseno

sin(x)+cos(x) = 3

Il nostro intento consiste nel risolverla utilizzando il metodo del passaggio al sistema. Esso prevede di considerare il sistema di equazioni

sin(x)+cos(x) = 3 ; cos^2(x)+sin^2(x) = 1

dove la prima è l'equazione data, la seconda è invece la relazione fondamentale della goniometria

cos^2(x)+sin^2(x) = 1 per ogni x∈R

L'analisi del sistema è resa più semplice se operiamo le seguenti sostituzioni

X = cos(x) , Y = sin(x)

mediante le quali ricaviamo

Y+X = 3 ; X^2+Y^2 = 1

Dalla prima relazione esprimiamo Y in termini di X

Y = 3-X ; X^2+Y^2 = 1

dopodiché rimpiazziamo l'espressione ottenuta nella seconda equazione

Y = 3-X ; X^2+(3-X)^2 = 1

Una volta sviluppato il quadrato di binomio e sommati tra loro i monomi simili, otteniamo il sistema equivalente

Y = 3-X ; X^2+9-6X+X^2-1 = 0 → 2X^2-6X+8 = 0

Occupiamoci per il momento dell'equazione di secondo grado nell'incognita X

2X^2-6X+8 = 0

Indichiamo con a, b e c rispettivamente il coefficiente di X^2, quello di X e il termine noto

a = 2 , b = -6 , c = 8

e calcoliamo il discriminante associato con la formula

Δ = b^2-4ac = (-6)^2-4·2·8 = 36-64 = -28

Poiché il delta è negativo, l'equazione di secondo grado non ammette soluzioni reali. Interpretiamo dal punto di vista geometrico il sistema

Y+X = 3 ; X^2+Y^2 = 1

Nel piano cartesiano OXY

Y+X = 3

è l'equazione della retta con coefficiente angolare m = -1 e ordinata all'origine q = 3, mentre

X^2+Y^2 = 1

è l'equazione della circonferenza di centro nell'origine e raggio 1.

Se rappresentiamo i due luoghi geometrici ci accorgiamo che non vi sono punti di intersezione, confermando l'impossibilità del sistema.

Esercizi equazioni lineari in seno e coseno 14

In definitiva, possiamo concludere che l'equazione lineare in seno e coseno non ammette soluzioni e pertanto il suo insieme soluzione coincide con l'insieme vuoto, ossia:

S = Ø

Abbiamo terminato.
Ringraziano: Brin, Danni, SweetLove
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Os