Esercizio su equazione lineare trigonometrica con metodo grafico

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Esercizio su equazione lineare trigonometrica con metodo grafico #18990

avt
FAQ
Frattale
Avrei bisogno del vostro aiuto per risolvere il seguente esercizio sulle equazioni lineari in seno e coseno, in cui mi si chiede di utilizzare il metodo del passaggio al sistema e l'interpretazione geometrica dei risultati. Sinceramente non ho idea di come si faccia.

Calcolare l'insieme delle soluzioni associato all'equazione lineare in seno e coseno

\sin(x)+\cos(x)=3

utilizzando il metodo del passaggio al sistema e interpretando geometricamente il risultato.
Ringraziano: Pi Greco, Brin, SweetLove
 
 

Esercizio su equazione lineare trigonometrica con metodo grafico #18993

avt
Omega
Amministratore
Consideriamo l'equazione lineare in seno e coseno

\sin(x)+\cos(x)=3

Il nostro intento consiste nel risolverla utilizzando il metodo del passaggio al sistema. Esso prevede di considerare il sistema di equazioni

\begin{cases}\sin(x)+\cos(x)=3\\ \\ \cos^2(x)+\sin^2(x)=1\end{cases}

dove la prima è l'equazione data, la seconda è invece la relazione fondamentale della goniometria

\cos^2(x)+\sin^2(x)=1\ \ \ \mbox{per ogni} \ x\in\mathbb{R}

L'analisi del sistema è resa più semplice se operiamo le seguenti sostituzioni

X=\cos(x)\ \ \ , \ \ \ Y=\sin(x)

mediante le quali ricaviamo

\begin{cases}Y+X=3 \\ \\ X^2+Y^2=1\end{cases}

Dalla prima relazione esprimiamo Y in termini di X

\begin{cases}Y=3-X\\ \\ X^2+Y^2=1\end{cases}

dopodiché rimpiazziamo l'espressione ottenuta nella seconda equazione

\begin{cases}Y=3-X\\ \\ X^2+(3-X)^2=1\end{cases}

Una volta sviluppato il quadrato di binomio e sommati tra loro i monomi simili, otteniamo il sistema equivalente

\begin{cases}Y=3-X\\ \\ X^2+9-6X+X^2-1=0 \ \ \ \to \ \ \ 2X^2-6X+8=0\end{cases}

Occupiamoci per il momento dell'equazione di secondo grado nell'incognita X

2X^2-6X+8=0

Indichiamo con a, \ b \ \mbox{e} \ c rispettivamente il coefficiente di X^2, quello di X e il termine noto

a=2 \ \ \ , \ \ \ b=-6 \ \ \ ,\ \ \ c=8

e calcoliamo il discriminante associato con la formula

\Delta=b^2-4ac= (-6)^2-4\cdot 2\cdot 8=36-64=-28

Poiché il delta è negativo, l'equazione di secondo grado non ammette soluzioni reali. Interpretiamo dal punto di vista geometrico il sistema

\begin{cases}Y+X=3 \\ \\ X^2+Y^2=1\end{cases}

Nel piano cartesiano OXY

Y+X=3

è l'equazione della retta con coefficiente angolare m=-1 e ordinata all'origine q=3, mentre

X^2+Y^2=1

è l'equazione della circonferenza di centro nell'origine e raggio 1.

Se rappresentiamo i due luoghi geometrici ci accorgiamo che non vi sono punti di intersezione, confermando l'impossibilità del sistema.

Esercizi equazioni lineari in seno e coseno 14

In definitiva, possiamo concludere che l'equazione lineare in seno e coseno non ammette soluzioni e pertanto il suo insieme soluzione coincide con l'insieme vuoto, ossia:

S=\emptyset

Abbiamo terminato.
Ringraziano: Brin, Danni, SweetLove
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Os