Sistemi nelle incognite x e y.. mi aiutate?

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Sistemi nelle incognite x e y.. mi aiutate? #18838

avt
marcolino007
Punto
Ohy ciao!

Sono stressata su questo sistema nelle incognite x e y che non riesco a risolvere, mi aiutate?

Il sistema è

x^2 + y^2= \frac{5}{4}

xy=-\frac{1}{2}

e so che le soluzioni del sistema nelle incognite x e y sono

(1;-1/2),(-1/2;1),(1/2;-1),(-1;1/2)

Grazie emt
 
 

Re: Sistemi nelle incognite x e y.. mi aiutate? #18839

avt
marcolino007
Punto
DOVE C'è SCRITTO "\frac{}{} " INTENDO IL FRATTO.... 5/4 ECC... SCUSATE...

Re: Sistemi nelle incognite x e y.. mi aiutate? #18841

avt
Omega
Amministratore
Ciao Marcolino007, ho corretto il TeX del tuo messaggio. Per le prossime volte puoi aiutarti con il comando di anteprima emt

x^2 + y^2= \frac{5}{4}

xy=-\frac{1}{2}

Ci sono due modi per risolvere l'esercizio: uno consiste nel risolvere il sistema graficamente, l'altro prevede di procedere algebricamente.

Ti faccio vedere come procedere nel secondo modo emt

Supponendo x\neq 0 possiamo dividere entrambi i membri per x nella seconda equazione

y=-\frac{1}{2x}

Sostituiamo tale espressione di y nella prima equazione

x^2 + \frac{1}{x^2}= \frac{5}{4}

e con un paio di semplici conti

x^4 + 1= \frac{5}{4}x^2

x^4 - \frac{5}{4}x^2+1=0

otteniamo un'equazione di quarto grado in x, che possiamo risolvere sostituendo z=x^2

z^2 - \frac{5}{4}z+1=0

Riscriviamo l'equazione in z nella forma

4z^2-5+1=0

e, con la formula del discriminante, ricaviamo le soluzioni

z_{1}=1\mbox{ }z=\frac{1}{4}

Ricordiamo a questo punto che abbiamo posto z=x^2

per cui otteniamo due equazioni di secondo grado in x

x^2=1\to x_{1,2}=\pm 1

x^2=\frac{1}{4}\to x_{1,2}=\pm\frac{1}{2}

Sostituendo questi quattro valori di x nell'equazione

y=-\frac{1}{2x}

trovi le corrispondenti ordinate emt
Ringraziano: Pi Greco, Danni

Re: Sistemi nelle incognite x e y.. mi aiutate? #19816

avt
Danni
Sfera
Uh, i miei sistemi simmetrici, mi dispiace di averlo visto solo ora...

Ciao Marcolino emt ti dico come lo faccio risolvere ai miei studenti, magari ti può essere utile per il futuro.

Prendo la prima formula di Waring:

x^{2} + y^{2} = (x + y)}^{2} - 2xy

e impongo subito

x + y = s\; = somma \;delle \; soluzioni

xy = p\;=prodotto\;delle \;soluzioni

Quindi imposto il sistema

\begin{cases} s^{2} - 2p = \frac{5}{4} \\ p = - \frac { 1}{2}\end{cases}

\begin{cases}s^{2} = \frac{1}{4} \\ p = - \frac{1}{2} \end{cases}

\begin{cases}s = \pm \frac{1}{2} \\ p = - \frac{1}{2} \end{cases}

Ora assumo l'equazione ausiliaria in t:

t^{2} \pm st + p = 0

2t^{2} \pm t - 1 = 0

Risolvo e ricavo

t = \frac{\mp1 \pm3}{4}

da cui le soluzioni simmetriche

(-\frac{1}{2};1)

(1:- \frac{1}{2})

(-1; \frac{1}{2})

(\frac{1}{2};-1)

Ciao ciao* emt
Ringraziano: Omega

Re: Sistemi nelle incognite x e y.. mi aiutate? #19818

avt
Omega
Amministratore
@Danni: ne sai una più del Diavolo! emt emt
Ringraziano: Pi Greco, Danni

Re: Sistemi nelle incognite x e y.. mi aiutate? #19820

avt
Danni
Sfera
@ Omega: no, emt mi frega sempre in dirittura d'arrivo emt

Re: Sistemi nelle incognite x e y.. mi aiutate? #19821

avt
Omega
Amministratore
emt emt emt
Ringraziano: Danni
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Os