Equazione di secondo grado con coefficienti fratti

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Equazione di secondo grado con coefficienti fratti #18521

avt
ragazza
Punto
Mi è capitato un esercizio sulle equazioni di secondo grado che non riesco a risolvere per via della presenza di alcuni coefficienti fratti. Il testo suggerisce che l'equazione si riduce a un'equazione monomia.

Ricondurre la seguente equazione di secondo grado a un'equazione monomia ed esplicitare l'insieme soluzione

\left(\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}\right)\left(\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}\right)+\frac{3}{4}x(x+1)-3\left(\frac{x+3}{4}\right)=-\frac{9}{2}
 
 

Equazione di secondo grado con coefficienti fratti #18522

avt
Omega
Amministratore
L'esercizio ci chiede di risolvere l'equazione

\left(\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}\right)\left(\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}\right)+\frac{3}{4}x(x+1)-3\left(\frac{x+3}{4}\right)=-\frac{9}{2}

Per prima cosa dobbiamo esprimerla in forma normale eseguendo tutte le operazioni: iniziamo con lo sviluppo del prodotto tra la somma e la differenza dei monomi \frac{1}{2}x\mbox{ e }\frac{3}{2} il quale si riscrive come la differenza dei quadrati dei due.

\frac{1}{4}x^2-\frac{9}{4}+\frac{3}{4}x(x+1)-3\left(\frac{x+3}{4}\right)=-\frac{9}{2}

Eseguiamo i prodotti rimanenti utilizzando a dovere la regola dei segni

\frac{1}{4}x^2-\frac{9}{4}+\frac{3}{4}x^2+\frac{3}{4}x+\frac{-3x-9}{4}=-\frac{9}{2}

Trasportiamo tutti i termini a sinistra dell'uguale

\frac{1}{4}x^2-\frac{9}{4}+\frac{3}{4}x^2+\frac{3}{4}x+\frac{-3x-9}{4}+\frac{9}{2}=0

e calcoliamo il minimo comune multiplo tra i denominatori

\frac{x^2-9+3x^2+3x-3x-9+18}{4}=0

Il secondo principio di equivalenza delle equazioni consente di eliminare il denominatore comune

x^2-9+3x^2+3x-3x-9+18=0

Sommiamo tra loro i monomi simili riconducendoci così all'equazione di secondo grado:

4x^2=0 \ \ \to \ \ x^2=0

Più precisamente, essa è un'equazione monomia di grado due che ammette due soluzioni reali e coincidenti x_1=x_2=0.

Possiamo concludere che l'equazione è determinata e il suo insieme soluzione S=\{0\}.

Abbiamo finito.
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Os