Equazione trigonometrica con confronto tra coseni

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Equazione trigonometrica con confronto tra coseni #18357

avt
Ven
Cerchio
Mi servirebbe una mano per calcolare le soluzioni di un'equazione goniometrica formata dall'uguaglianza di due coseni, il secondo dei quali è preceduto da un segno meno. Secondo il mio insegnante, dovrei avvalermi delle formule per gli archi associati per esprimere l'equazione in forma normale, però non so come si faccia.

Dopo aver espresso la seguente equazione goniometrica in forma normale, ricavare le soluzioni usando le opportune formule degli archi associati.

\cos\left(3x+\frac{\pi}{14}\right)=-\cos(7x)

Grazie.
 
 

Equazione trigonometrica con confronto tra coseni #20090

avt
Ifrit
Ambasciatore
Prima di calcolare le eventuali soluzioni dell'equazione goniometrica

\cos\left(3x+\frac{\pi}{14}\right)=-\cos(7x)

occorre ricondursi alla forma canonica \cos(f(x))=\cos(g(x)) sfruttando come si devono le formule degli archi associati.

Più precisamente, abbiamo bisogno della regola

-\cos(\alpha)=\cos(\alpha+\pi) \ \ \ \mbox{per ogni} \ \alpha\in\mathbb{R}

che ci autorizza a scrivere l'uguaglianza

-\cos(7x)=\cos(7x+\pi)\ \ \ \mbox{per ogni} \ x\in\mathbb{R}

e a rielaborare l'equazione nella forma equivalente

\cos\left(3x+\frac{\pi}{14}\right)=\cos(7x+\pi)

Ci siamo ricondotti a un'uguaglianza di coseni che può essere analizzata usando la seguente regola: due angoli hanno il medesimo coseno se differiscono di un numero intero di angoli giri, oppure se il primo differisce di un numero intero di angoli giri dall'opposto del secondo.

In simboli matematici,

\cos(f(x))=\cos(g(x)) \ \ \ \to \\ \\ \to \ \ \ f(x)=g(x)+2k\pi \ \ \ \vee \ \ \ f(x)=2\pi-g(x)+2k\pi

dove k è un parametro libero di variare nell'insieme dei numeri interi.

Applicando la regola al caso considerato, ci riconduciamo a due semplici equazioni di primo grado nell'incognita x

3x+\frac{\pi}{14}=7x+\pi+2k\pi \ \ \ \vee \ \ \ 3x+\frac{\pi}{14}=2\pi-(7x+\pi)+2k\pi

con k\in\mathbb{Z}.

Occupiamoci della prima equazione

3x+\frac{\pi}{14}=7x+\pi+2k\pi

Trasportiamo i termini con l'incognita al primo e quelli senza al secondo, prestando la massima attenzione ai segni

3x-7x=-\frac{\pi}{14}+\pi+2k\pi \ \ \ \to \ \ \ -4x=\frac{13\pi}{14}+2k\pi

Cambiati i segni ai membri e diviso a destra e a sinistra per 4, ricaviamo la prima famiglia soluzione:

x=-\frac{13\pi}{56}-\frac{k\pi}{2}

Prendiamo in esame la seconda, ossia:

3x+\frac{\pi}{14}=2\pi-(7x+\pi)+2k\pi

Sbarazziamoci delle parentesi tonde, usando a dovere la regola dei segni

3x+\frac{\pi}{14}=2\pi-7x-\pi+2k\pi

dopodiché trasportiamo i termini con l'incognita al primo e tutti gli altri al secondo

3x+7x=-\frac{\pi}{14}+\pi+2k\pi \ \ \ \to \ \ \ 10x=\frac{13\pi}{14}+2k\pi

Divisi i due membri per 10, ricaviamo la seconda famiglia di soluzioni

x=\frac{13\pi}{140}+\frac{k\pi}{5}

al variare di k\in\mathbb{Z}.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ven, RICHARDOLO
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Os