Disequazioni razionali fratte, due esercizi

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Disequazioni razionali fratte, due esercizi #1829

avt
Stella
Punto
Ciao, potete aiutarmi con due disequazioni razionali fratte? Non riesco a risolverle! :( Eccole qui...

Prima disequazione:

\frac{3-x}{5}+x<\frac{4x^2}{5x+15}

Seconda disequazione:

\frac{2-x}{x+2}-1<\frac{1-3x^2}{6+3x}

Grazie davvero!
 
 

Disequazioni razionali fratte, due esercizi #1834

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao stella, benvenuta nel forum di Youmath!

\frac{3-x}{5}+x<\frac{4x^2}{5x+15}


E' una disequazione razionale fratta, il metodo di risoluzione è standard:

• Si calcola il dominio delle espressioni in gioco:

In questo caso abbiamo un denominatore in cui compare la x. Tale denominatore deve essere diverso da zero altrimenti l'intera frazione perde di significato:

5x+15\ne0\implies x\ne -\frac{15}{5}=-3


Il dominio è quindi x\ne -3.

• Portare tutto al primo membro stando attenti ai segni:

\frac{3-x}{5}+x-\frac{4x^2}{5x+15}<0


• Calcoliamo il minimo comun denominatore. In questo caso è 5x+15= 5(x+3).

La disequazione diventa:

\frac{(3+x)(3-x)+x(5x+15)-4x^2}{5x+15}<0


• Effettuiamo i conti:


\frac{(3+x)(3-x)+x(5x+15)-4x^2}{5x+15}<0


\frac{9-x^2+5x^2+15x-4x^2}{5x+15}<0


\frac{9+15x}{5x+15}<0


Adesso andiamo a studiare il segno del numeratore e del denominatore separatamente:

•Numeratore

9+15x>0\iff 15x>-9\implies x>-\frac{9}{15}= -\frac{3}{5}

•Denominatore
5x+15>0\implies 5x>-15\implies x>-\frac{15}{5}=-3

A questo punto bisogna tabulare i segni:

Numeratore - - - - - - - - - - - (-3/5) + + + + + + + + +
Denominatore - - - - (-3)+ + + + + + + + + + + + + + + + +
Quoto: + + + + + + + (-3) - - - - (-3/5) + + + + + + +

A noi interessa quando il quoto tra numeratore e denominatore è negativo quindi l'insieme soluzione è

S= -3<x<-\frac{3}{5}

Potresti dirmi se questa è corretta?
Ringraziano: Omega, frank094, Pelide98

Disequazioni razionali fratte, due esercizi #1835

avt
Stella
Punto
Sì! É correttissima! Grazie davvero! emt emt emt emt

Disequazioni razionali fratte, due esercizi #1836

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ok, sono contento xD, tra un po' arriva l'altra, solo il tempo di scriverla emt
Ringraziano: Omega

Disequazioni razionali fratte, due esercizi #1838

avt
Stella
Punto
Ok, grazie per la pazienza emt

Disequazioni razionali fratte, due esercizi #1842

avt
Ifrit
Ambasciatore
\frac{2-x}{x+2}-1<\frac{1-3x^2}{6+3x}


Cominiciamo: In questo caso abbiamo due denominatori in cui compare la x, poco male però, ci concentreremo su di loro uno alla volta:

x+2\ne0 \implies x\ne-2

3x+6\ne0 \implies 3(x+2)\ne0\implies x\ne-2


Beh, abbiamo già fattorizzato il denominatore 6+3x, siamo a cavallo.

Ora come prima portiamo tutto al primo membro:

\frac{2-x}{x+2}-1-\frac{1-3x^2}{6+3x}<0


Calcoliamo il minimo comun denominatore che è 3(x+2).

La precedente disequazione diventa:

\frac{3(2-x)-6-3x-1+3x^2}{6+3x}<0


Moltiplichiamo e togliamo le parentesi!!

\frac{6-3x-6-3x-1+3x^2}{6+3x}<0


Sommiamo i termini simili

\frac{3x^2-6x-1}{6+3x}<0


Andiamo a studiare i segni!
Numeratore:

3x^2-6x-1>0


E' una disequazione di secondo grado, noiosissima, ma non difficile.

Calcoliamo il discriminante:

\Delta= b^2-4ac= 36+12= 48>0\implies \sqrt{\Delta}=\sqtr{48}= 4\sqrt{3}

Il discriminante è positivo, di conseguenza, l'equazione associata ammette due soluzioni reali e distinte!

Calcoliamole:

x_1= \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}= \frac{6-4\sqrt{3}}{6}=\frac{3-2\sqrt{3}}{3}


x_2= \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}= \frac{6+4\sqrt{3}}{6}=\frac{3+2\sqrt{3}}{3}

E' chiaro che x_1<x_2. Ora poiché il coefficiente di x^2, che è 3, è positivo allora l'insieme soluzione di questa disequazione è per valori esterni, cioè è soddisfatta per :

x<x_1\vee x>x_2


Denominatore:

6+3x>0\implies 3x>-6 \implies x>-2

Tabuliamo i segni!

Numeratore + + + + + + + + + + (3-2rad(3))/3 - - - - - - - - - (3+2rad(3))/3 + + + +

Denominatore - - - (-2)+ + + + + + + + + + + + + + ++ + + + + + + + ++ +

Quoziente: - - - - -(-2)+ + + + (3-2rad(3))/3 - - - - - - - - - - -(3+2rad(3))/3 + + + + +

A noi interessano le parti negative, quindi l'insieme soluzione è

S=x<-2\vee \frac{3-2\sqrt{3}}{3}<x< \frac{3+2\sqrt{3}}{3}

Dimmi se ti torna anche questa per piacere emt
Ringraziano: Omega, Pelide98

Disequazioni razionali fratte, due esercizi #1845

avt
Stella
Punto
Sul libro il risultato è [ x < -2 V x > 5/3 ]
emt

Grazie comunque emt

Disequazioni razionali fratte, due esercizi #1849

avt
Ifrit
Ambasciatore
Sono convinto che il risultato del libro sia sbagliato. Facciamo così, domani chiedi alla tua insegnante, vedrai che saprà dirti qualcosa in più.

Per sicurezza ho controllato il risultato col computer e mi ha dato ragione. emt
Ringraziano: Omega
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Os