Equazione di grado 1 con razionalizzazione

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Equazione di grado 1 con razionalizzazione #17968

avt
themenphis
Punto
Riscontro grosse difficoltà nel risolvere la seguente equazione di primo grado con i radicali a denominatore. Ho tentato di applicare le proprietà dei radicali ma non ottengo mai il risultato richiesto, ecco perché chiedo il vostro intervento.

Determinare l'insieme soluzione dell'equazione di primo grado

\frac{3(x-3\sqrt{2})}{4\sqrt{3}}-\frac{x-2\sqrt{3}}{3\sqrt{2}}=\frac{1}{2}

razionalizzando opportunamente i denominatori.
 
 

Equazione di grado 1 con razionalizzazione #17974

avt
Omega
Amministratore
Il nostro compito consiste nel risolvere l'equazione di primo grado

\frac{3(x-3\sqrt{2})}{4\sqrt{3}}-\frac{x-2\sqrt{3}}{3\sqrt{2}}=\frac{1}{2}

Proprio perché troviamo dei radicali ai denominatori, procederemo con la loro razionalizzazione.

Razionalizziamo 4\sqrt{3} moltiplicando e dividendo la prima frazione per \sqrt{3}

\\ \frac{3\sqrt{3}(x-3\sqrt{2})}{4\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}-\frac{x-2\sqrt{3}}{3\sqrt{2}}=\frac{1}{2} \\ \\ \\ \frac{3\sqrt{3}(x-3\sqrt{2})}{4\cdot 3}-\frac{x-2\sqrt{3}}{3\sqrt{2}}=\frac{1}{2} \\ \\ \\ \frac{3\sqrt{3}(x-3\sqrt{2})}{12}-\frac{x-2\sqrt{3}}{3\sqrt{2}}=\frac{1}{2}

Razionalizziamo 3\sqrt{2} moltiplicando e dividendo la seconda frazione per \sqrt{2}

\\ \frac{3\sqrt{3}(x-3\sqrt{2})}{12}-\frac{\sqrt{2}(x-2\sqrt{3})}{3\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{1}{2} \\ \\ \\ \frac{3\sqrt{3}(x-3\sqrt{2})}{12}-\frac{\sqrt{2}(x-2\sqrt{3})}{3\cdot 2}=\frac{1}{2} \\ \\ \\ \frac{3\sqrt{3}(x-3\sqrt{2})}{12}-\frac{\sqrt{2}(x-2\sqrt{3})}{6}=\frac{1}{2}

Ora che abbiamo razionalizzato i denominatori, possiamo scrivere le frazioni a denominatore comune, calcolando il minimo comune multiplo tra 12, 6 e 2

\frac{3\sqrt{3}(x-3\sqrt{2})-2\sqrt{2}(x-2\sqrt{3})}{12}=\frac{6}{12}

Una volta cancellati i denominatori, ricaviamo l'equazione equivalente

3\sqrt{3}(x-3\sqrt{2})-2\sqrt{2}(x-2\sqrt{3})=6

Usando la regola dei segni eseguiamo i prodotti

3\sqrt{3}x-3\sqrt{3}\cdot 3\sqrt{2}-2\sqrt{2}x+2\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{3}=6

Moltiplichiamo i radicali tra loro

3\sqrt{3}x-9\sqrt{6}-2\sqrt{2}x+4\sqrt{6}=6

isoliamo i termini con l'incognita a sinistra e trasportiamo quelli senza incognita al secondo cambiando il loro segno

\\ 3\sqrt{3}x-2\sqrt{2}x=6+5\sqrt{6} \\ \\ (3\sqrt{3}-2\sqrt{2})x=6+5\sqrt{6}

A questo punto dividiamo i due membri per 3\sqrt{3}-2\sqrt{2} ricavando

x=\frac{6+5\sqrt{6}}{3\sqrt{3}-2\sqrt{2}}

Il valore ottenuto è effettivamente la soluzione dell'equazione ma non è espresso nella sua forma più semplice. Per semplificare il risultato, razionalizziamo il denominatore moltiplicando e dividendo la frazione per 3\sqrt{3}+2\sqrt{2}:

x=\frac{(6+5\sqrt{6})(3\sqrt{3}+2\sqrt{2})}{(3\sqrt{3}-2\sqrt{2})(3\sqrt{3}+2\sqrt{2})}

Al denominatore si presenta il prodotto di una somma per una differenza che si tramuta nella differenza dei quadrati dei due addendi

x=\frac{(6+5\sqrt{6})(3\sqrt{3}+2\sqrt{2})}{(3\sqrt{3})^2-(2\sqrt{2})^2}

Sviluppiamo i calcoli con l'ausilio delle proprietà delle potenze

\\ x=\frac{(6+5\sqrt{6})(3\sqrt{3}+2\sqrt{2})}{3^2(\sqrt{3})^2-2^2(\sqrt{2})^2} \\ \\ \\ x=\frac{(6+5\sqrt{6})(3\sqrt{3}+2\sqrt{2})}{9\cdot 3-4\cdot 2} \\ \\ \\ x=\frac{(6+5\sqrt{6})(3\sqrt{3}+2\sqrt{2})}{27-8}

Svolgiamo la differenza al denominatore e nel frattempo eseguiamo il prodotto al numeratore

\\ x=\frac{18\sqrt{3}+12\sqrt{2}+15\sqrt{6}\cdot\sqrt{3}+10\sqrt{6}\cdot\sqrt{2}}{19} \\ \\ \\ x=\frac{18\sqrt{3}+12\sqrt{2}+15\sqrt{18}+10\sqrt{12}}{19}

Non abbiamo ancora concluso: dobbiamo riscrivere i radicali in forma normale, trasportando fuori dalla radice tutti i fattori possibili

\\ x=\frac{18\sqrt{3}+12\sqrt{2}+15\cdot 3\sqrt{2}+10\cdot 2\sqrt{3}}{19} \\ \\ \\ x=\frac{18\sqrt{3}+12\sqrt{2}+45\sqrt{2}+20\sqrt{3}}{19}

e sommare i radicali simili tra loro

x=\frac{38\sqrt{3}+57\sqrt{2}}{19}

Manca poco, è sufficiente raccogliere il fattore comune 19 al numeratore

x=\frac{19(2\sqrt{3}+3\sqrt{2})}{19}

e ridurre la frazione ai minimi termini

x=2\sqrt{3}+3\sqrt{2}

Possiamo concludere quindi che l'equazione è determinata e il suo insieme soluzione è S=\{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}\}.
Ringraziano: Pi Greco, themenphis
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