Equazione di grado 1 con razionalizzazione

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Equazione di grado 1 con razionalizzazione #17968

avt
themenphis
Punto
Riscontro grosse difficoltà nel risolvere la seguente equazione di primo grado con i radicali a denominatore. Ho tentato di applicare le proprietà dei radicali ma non ottengo mai il risultato richiesto, ecco perché chiedo il vostro intervento.

Determinare l'insieme soluzione dell'equazione di primo grado

(3(x-3√(2)))/(4√(3))-(x-2√(3))/(3√(2)) = (1)/(2)

razionalizzando opportunamente i denominatori.
 
 

Equazione di grado 1 con razionalizzazione #17974

avt
Omega
Amministratore
Il nostro compito consiste nel risolvere l'equazione di primo grado

(3(x-3√(2)))/(4√(3))-(x-2√(3))/(3√(2)) = (1)/(2)

Proprio perché troviamo dei radicali ai denominatori, procederemo con la loro razionalizzazione.

Razionalizziamo 4√(3) moltiplicando e dividendo la prima frazione per √(3)

(3√(3)(x-3√(2)))/(4√(3)·√(3))-(x-2√(3))/(3√(2)) = (1)/(2) ; (3√(3)(x-3√(2)))/(4·3)-(x-2√(3))/(3√(2)) = (1)/(2) ; (3√(3)(x-3√(2)))/(12)-(x-2√(3))/(3√(2)) = (1)/(2)

Razionalizziamo 3√(2) moltiplicando e dividendo la seconda frazione per √(2)

(3√(3)(x-3√(2)))/(12)-(√(2)(x-2√(3)))/(3√(2)·√(2)) = (1)/(2) ; (3√(3)(x-3√(2)))/(12)-(√(2)(x-2√(3)))/(3·2) = (1)/(2) ; (3√(3)(x-3√(2)))/(12)-(√(2)(x-2√(3)))/(6) = (1)/(2)

Ora che abbiamo razionalizzato i denominatori, possiamo scrivere le frazioni a denominatore comune, calcolando il minimo comune multiplo tra 12, 6 e 2

(3√(3)(x-3√(2))-2√(2)(x-2√(3)))/(12) = (6)/(12)

Una volta cancellati i denominatori, ricaviamo l'equazione equivalente

3√(3)(x-3√(2))-2√(2)(x-2√(3)) = 6

Usando la regola dei segni eseguiamo i prodotti

3√(3)x-3√(3)·3√(2)-2√(2)x+2√(2)·2√(3) = 6

Moltiplichiamo i radicali tra loro

3√(3)x-9√(6)-2√(2)x+4√(6) = 6

isoliamo i termini con l'incognita a sinistra e trasportiamo quelli senza incognita al secondo cambiando il loro segno

3√(3)x-2√(2)x = 6+5√(6) ; (3√(3)-2√(2))x = 6+5√(6)

A questo punto dividiamo i due membri per 3√(3)-2√(2) ricavando

x = (6+5√(6))/(3√(3)-2√(2))

Il valore ottenuto è effettivamente la soluzione dell'equazione ma non è espresso nella sua forma più semplice. Per semplificare il risultato, razionalizziamo il denominatore moltiplicando e dividendo la frazione per 3√(3)+2√(2):

x = ((6+5√(6))(3√(3)+2√(2)))/((3√(3)-2√(2))(3√(3)+2√(2)))

Al denominatore si presenta il prodotto di una somma per una differenza che si tramuta nella differenza dei quadrati dei due addendi

x = ((6+5√(6))(3√(3)+2√(2)))/((3√(3))^2-(2√(2))^2)

Sviluppiamo i calcoli con l'ausilio delle proprietà delle potenze

x = ((6+5√(6))(3√(3)+2√(2)))/(3^2(√(3))^2-2^2(√(2))^2) ; x = ((6+5√(6))(3√(3)+2√(2)))/(9·3-4·2) ; x = ((6+5√(6))(3√(3)+2√(2)))/(27-8)

Svolgiamo la differenza al denominatore e nel frattempo eseguiamo il prodotto al numeratore

x = (18√(3)+12√(2)+15√(6)·√(3)+10√(6)·√(2))/(19) ; x = (18√(3)+12√(2)+15√(18)+10√(12))/(19)

Non abbiamo ancora concluso: dobbiamo riscrivere i radicali in forma normale, trasportando fuori dalla radice tutti i fattori possibili

x = (18√(3)+12√(2)+15·3√(2)+10·2√(3))/(19) ; x = (18√(3)+12√(2)+45√(2)+20√(3))/(19)

e sommare i radicali simili tra loro

x = (38√(3)+57√(2))/(19)

Manca poco, è sufficiente raccogliere il fattore comune 19 al numeratore

x = (19(2√(3)+3√(2)))/(19)

e ridurre la frazione ai minimi termini

x = 2√(3)+3√(2)

Possiamo concludere quindi che l'equazione è determinata e il suo insieme soluzione è S = 2√(3)+3√(2).
Ringraziano: Pi Greco, themenphis
  • Pagina:
  • 1
Os