Equazione fratta da risolvere per scomposizione dei denominatori

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Equazione fratta da risolvere per scomposizione dei denominatori #17712

avt
marcello
Banned
Non riesco a risolvere questa equazione fratta, trovo infatti difficoltà nella scomposizione dei vari denominatori, ecco perché chiedo ancora il vostro aiuto.

Esplicitare l'insieme soluzione dell'equazione frazionaria di primo grado

\frac{1}{x^3-2x^2-x+2} +\frac{1}{x^2-3x+2}=\frac{3}{x^2-x-2}

Grazie.
 
 

Equazione fratta da risolvere per scomposizione dei denominatori #17744

avt
Danni
Sfera
Dovresti dire in che cosa consiste esattamente il tuo problema e vediamo di insistere su questo per eliminare le incertezze.

L'equazione razionale fratta presenta l'incognita al denominatore. Poiché l'incognita è una variabile alla quale si può dare ogni valore reale, dobbiamo escludere quei suoi valori che annullano i denominatori perché sai che un denominatore non può mai essere uguale a zero.

Per fare questo, i denominatori devono essere fattorizzati, ovvero scomposti in fattori.

Per la fattorizzazione utilizziamo tutte le regole a nostra disposizione: dobbiamo conoscere i metodi di raccoglimento parziale o del raccoglimento totale, prodotti notevoli, trinomi particolari, teorema del resto e regola di Ruffini.

Una volta fattorizzati, i denominatori vanno imposti diversi da zero, dopodiché stabiliamo il denominatore comune ed eseguiamo tutte le operazioni volute dal testo dell'equazione.

Quando l'equazione è ridotta a forma normale, si calcola il valore dell'incognita.

Se tale valore coincide con una delle imposizioni iniziali, dobbiamo definire l'equazione come impossibile. In caso contrario la soluzione è accettabile.

Dopo aver riassunto un po' la teoria delle equazioni fratte, occupiamoci di quella data.

Il nostro intento consiste nel risolvere

\frac{1}{x^3-2x^2-x+2}+\frac{1}{x^2-3x+2}=\frac{3}{x^2-x-2}

che come vedremo è un'equazione frazionaria di primo grado. Per prima cosa scomponiamo i denominatori in fattori irriducibili partendo da

x^3-2x^2-x+2=

Procediamo mediante la tecnica del raccoglimento parziale: mettiamo in evidenza il fattore comune x^2 tra i primi due termini e il segno meno tra gli ultimi due, dopodiché raccoglieremo il fattore comune x-2

=x^2(x-2)-(x-2)=(x^2-1)(x-2)=

Scomponiamo ulteriormente la differenza di quadrati x^2-1 ricavando

=(x-1)(x+1)(x-2)

Scomponiamo il secondo denominatore mediante la regola relativa al trinomio notevole

x^2-3x+2=(x-1)(x-2)

e applichiamola nuovamente per scomporre anche il terzo denominatore

x^2-x-2=(x+1)(x-2)

Per questioni puramente estetiche, riscriviamo l'equazione rimpiazzando al posto dei vari denominatori le relative scomposizioni e nel frattempo trasportiamo tutti i termini al primo membro prestando la massima attenzione ai segni

\frac{1}{(x-1)(x+1)(x-2)}+\frac{1}{(x-1)(x-2)}-\frac{3}{(x+1)(x-2)}=0

È giunto il momento di imporre le condizioni di esistenza: richiederemo che i denominatori presenti siano diversi da zero.

(x-1)(x+1)(x-2)\ne 0

Utilizziamo la legge di annullamento del prodotto, secondo cui il prodotto al primo membro è non nullo se e solo se tutti i fattori che lo compongono sono non nulli, vale a dire:

\\ x-1\ne 0 \ \ \to \ \ x\ne 1\\ \\ x+1\ne0 \ \ \to \ \ x\ne -1 \\ \\ x-2\ne 0 \ \ \to \ \ x\ne 2

Occupiamoci degli altri denominatori avvalendoci ancora una volta della legge di annullamento del prodotto

(x-1)(x-2)\ne 0

da cui

\\ x-1\ne 0 \ \ \to \ \ x\ne 1 \\ \\ x-2\ne 0 \ \ \to \ \ x\ne 2

Per quanto riguarda la non nullità dell'ultimo denominatore

(x+1)(x-2)\ne 0

scriviamo

\\ x+1\ne 0 \ \ \to \ \ x\ne -1 \\ \\ x-2\ne 0 \ \ \to \ \ x\ne2

In definitiva l'insieme di esistenza dell'equazione è

C.E.: x\ne -1 \ \wedge \ x\ne 1 \ \wedge \ x\ne 2

dove \wedge è il connettivo logico che indica la congiunzione "e".

Noto l'insieme di esistenza, procediamo con la risoluzione sommando tra loro le frazioni algebriche: chiaramente abbiamo bisogno del minimo comune multiplo tra i polinomi a denominatore che è (x-1)(x+1)(x-2).

Scriviamo dunque

\frac{1+(x+1)-3(x-1)}{(x-1)(x+1)(x-2)}=0

e moltiplichiamo i due membri per il denominatore così da ricavare l'equazione

1+(x+1)-3(x-1)=0

Sviluppiamo i calcoli usando la regola dei segni

1+x+1-3x+3=0

e, una volta sbarazzatoci delle parentesi tonde, sommiamo tra loro i termini simili

-2x+5=0

Ci siamo ricondotti a un'equazione di primo grado che possiamo affrontare lasciando il termine con l'incognita al primo membro e trasportando al secondo il termine noto cambiandogli il segno

-2x=-5

Cambiamo i segni a destra e a sinistra

2x=5

e dividiamo per 2

x=\frac{5}{2}

Il valore ottenuto è accettabile come soluzione dell'equazione giacché rispetta le condizioni di esistenza. Possiamo pertanto concludere che l'equazione è determinata e il suo insieme soluzione è S=\left\{\frac{5}{2}\right\}.

Abbiamo terminato.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, marcello, robby
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Os