Equazione fratta di terzo grado

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Equazione fratta di terzo grado #17665

avt
marcello
Banned
Mi potreste aiutare a risolvere questa equazione fratta di terzo grado?

Determinare l'insieme delle soluzioni associato all'equazione frazionaria

\frac{x}{x^3-2x^2+x-2} -\frac{2}{x^3+x^2+x+1}=\frac{1}{x^2-x-2}

Grazie.
 
 

Equazione fratta di terzo grado #17677

avt
Danni
Sfera
Consideriamo l'equazione

\frac{x}{x^3-2x^2+x-2}-\frac{2}{x^3+x^2+x+1}=\frac{1}{x^2-x-2}

Nonostante siano presenti dei polinomi di terzo grado a denominatore, essa è in realtà un'equazione fratta di primo grado: l'incognita si manifesta anche ai denominatori e risolvendola vedremo che si ridurrà a un'equazione di primo grado.

Per prima cosa fattorizziamo i denominatori in fattori irriducibili.

Per i primi due usiamo il raccoglimento parziale

\\ x^3-2x^2+x-2=x^2(x-2)+(x-2)=(x-2)(x^2+1)\\ \\ x^3+x^2+x+1=x^2(x+1)+(x+1)=(x+1)(x^2+1)

Per l'ultimo denominatore usiamo la regola del trinomio notevole

x^2-x-2=(x+1)(x-2)

Riscriviamo l'equazione rimpiazzando al posto dei denominatori le rispettive scomposizioni

\frac{x}{(x-2)(x^2+1)}-\frac{2}{(x+1)(x^2+1)}=\frac{1}{(x+1)(x-2)}

Imponiamo le condizioni di esistenza, pretendendo la non nullità dei denominatori.

Per la legge di annullamento del prodotto sussiste la disuguaglianza

(x-2)(x^2+1)\ne 0

se e solo se ciascun fattore che compone il primo membro è diverso da zero, vale a dire

\\ x-2\ne 0 \ \ \to \ \ x\ne 2 \\ \\ x^2+1\ne 0\ \ \to \ \ \mbox{per ogni} \ x\in\mathbb{R}

Notiamo che la somma di quadrati x^2+1 è sempre diversa da zero nei reali.

Ora portiamo tutto al primo membro

\frac{x}{(x-2)(x^2+1)}-\frac{2}{(x+1)(x^2+1)}-\frac{1}{(x+1)(x-2)}=0

e calcoliamo la somma delle frazioni algebriche. Ci serve il denominatore comune, che è

(x^2+1)(x+1)(x-2)

e scriviamo tutto come un'unica frazione

\frac{x(x+1)-2(x-2)-(x^2+1)}{(x^2+1)(x+1)(x-2)}=0

Cancelliamo il denominatore comune, ottenendo così l'equazione

x(x+1)-2(x-2)-(x^2+1)=0

Sviluppiamo i vari prodotti avvalendoci della regola dei segni

x^2+x-2x+4-x^2-1=0

e sommiamo tra loro i monomi simili

-x+3=0

Ci siamo ricondotti a un'equazione di primo grado. Isoliamo -x al primo membro trasportando 3 al secondo cambiandogli il segno

-x = -3

Cambiamo i segni a destra e a sinistra dell'uguale ricavando il valore

x=3

In accordo con le condizioni di esistenza, la soluzione è accettabile, ecco perché concludiamo che l'equazione è determinata ed è soddisfatta per x=3.

Ecco fatto!
Ringraziano: Omega, Pi Greco, marcello
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Os