Equazione fratta di terzo grado #17665

avt
marcello
Banned
Mi potreste aiutare a risolvere questa equazione fratta di terzo grado?

Determinare l'insieme delle soluzioni associato all'equazione frazionaria

(x)/(x^3-2x^2+x-2)-(2)/(x^3+x^2+x+1) = (1)/(x^2-x-2)

Grazie.
 
 

Equazione fratta di terzo grado #17677

avt
Danni
Sfera
Consideriamo l'equazione

(x)/(x^3-2x^2+x-2)-(2)/(x^3+x^2+x+1) = (1)/(x^2-x-2)

Nonostante siano presenti dei polinomi di terzo grado a denominatore, essa è in realtà un'equazione fratta di primo grado: l'incognita si manifesta anche ai denominatori e risolvendola vedremo che si ridurrà a un'equazione di primo grado.

Per prima cosa fattorizziamo i denominatori in fattori irriducibili.

Per i primi due usiamo il raccoglimento parziale

x^3-2x^2+x-2 = x^2(x-2)+(x-2) = (x-2)(x^2+1) ; x^3+x^2+x+1 = x^2(x+1)+(x+1) = (x+1)(x^2+1)

Per l'ultimo denominatore usiamo la regola del trinomio notevole

x^2-x-2 = (x+1)(x-2)

Riscriviamo l'equazione rimpiazzando al posto dei denominatori le rispettive scomposizioni

(x)/((x-2)(x^2+1))-(2)/((x+1)(x^2+1)) = (1)/((x+1)(x-2))

Imponiamo le condizioni di esistenza, pretendendo la non nullità dei denominatori.

Per la legge di annullamento del prodotto sussiste la disuguaglianza

(x-2)(x^2+1) ne 0

se e solo se ciascun fattore che compone il primo membro è diverso da zero, vale a dire

x-2 ne 0 → x ne 2 ; x^2+1 ne 0 → per ogni x∈R

Notiamo che la somma di quadrati x^2+1 è sempre diversa da zero nei reali.

Ora portiamo tutto al primo membro

(x)/((x-2)(x^2+1))-(2)/((x+1)(x^2+1))-(1)/((x+1)(x-2)) = 0

e calcoliamo la somma delle frazioni algebriche. Ci serve il denominatore comune, che è

(x^2+1)(x+1)(x-2)

e scriviamo tutto come un'unica frazione

(x(x+1)-2(x-2)-(x^2+1))/((x^2+1)(x+1)(x-2)) = 0

Cancelliamo il denominatore comune, ottenendo così l'equazione

x(x+1)-2(x-2)-(x^2+1) = 0

Sviluppiamo i vari prodotti avvalendoci della regola dei segni

x^2+x-2x+4-x^2-1 = 0

e sommiamo tra loro i monomi simili

-x+3 = 0

Ci siamo ricondotti a un'equazione di primo grado. Isoliamo -x al primo membro trasportando 3 al secondo cambiandogli il segno

-x = -3

Cambiamo i segni a destra e a sinistra dell'uguale ricavando il valore

x = 3

In accordo con le condizioni di esistenza, la soluzione è accettabile, ecco perché concludiamo che l'equazione è determinata ed è soddisfatta per x = 3.

Ecco fatto!
Ringraziano: Omega, Pi Greco, marcello
  • Pagina:
  • 1
Os