Potenze di monomi con numeri decimali

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Potenze di monomi con numeri decimali #17455

avt
FAQ
Punto
Ho bisogno di una mano per determinare le potenze di alcuni monomi a coefficienti decimali. Le mie perplessità risiedono nella gestione dei numeri decimali: in teoria dovrei passare alle loro frazioni generatrici, non è così?

Determinare le seguenti potenze di monomi

(-1,5\ a^3b)^{4} \ \ \ ; \  \ \ (-1,4\ xy^3 z)^{2}\ \ \ ;  \ \ \ (-0,875\ a^2 y^3)^{2}

Grazie.
Ringraziano: Pi Greco, LittleMar, Ifrit, Brin
 
 

Potenze di monomi con numeri decimali #17456

avt
Pi Greco
Kraken
Il calcolo della potenza n-esima di un monomio richiede una buona padronanza delle proprietà delle potenze, le quali intervengono in pressoché tutti i passaggi che useremo.

Dal punto di vista operativo, eleveremo a n sia la parte numerica, sia tutti i fattori letterali, moltiplicando per n i loro esponenti.

L'esercizio, purtroppo, presenta una difficoltà maggiore: i coefficienti dei monomi base sono numeri decimali limitati: in queste circostanze, occorre associare loro le cosiddette frazioni generatrici.

La frazione generatrice di un numero decimale limitato è la frazione che ha al numeratore il numero privato della virgola, mentre al denominatore troviamo un uno seguito da tanti zeri quante sono le cifre della parte decimale.

Nel nostro caso, i coefficienti delle basi di

(-1,5\ a^3b)^{4} \ \ \ ; \  \ \ (-1,4\  xy^3 z)^{2}\ \ \ ;  \ \ \ (-0,875\ a^2 y^3)^{2}

sono -1,5; \ -1,4\ \mbox{e} \ -0,875 e le loro frazioni generatrici sono:

\\ -1,5=-\frac{15}{10}=-\frac{3}{2} \\ \\ \\ -1,4=-\frac{14}{10}=-\frac{7}{5}\\ \\ \\ -0,875=-\frac{875}{1000}=-\frac{7}{8}

per cui le potenze diventano:

\\ (-1,5\ a^3b)^{4}=\left(-\frac{3}{2}a^{3}b\right)^{4} \\ \\ \\ (-1,4\  xy^3 z)^{2}=\left(-\frac{7}{5}xy^3z\right)^2\\ \\ \\ (-0,875\ a^2 y^3)^{2}=\left(-\frac{7}{8}a^2 y^3\right)^{2}

Ora siamo in grado di esplicitare le tre potenze, attenendoci alla definizione riportata in precedenza.

(-1,5\ a^3b)^{4}=\left(-\frac{3}{2}a^{3}b\right)^{4}=

Distribuiamo l'esponente a ciascun fattore del monomio di base

=\left(-\frac{3}{2}\right)^4\cdot (a^{3})^{4}\cdot (b^{1})^{4}=

dopodiché esplicitiamo la potenza di -\frac{3}{2}, attenendoci alla definizione di potenza di una frazione, e le varie potenze di potenze, moltiplicando tra loro gli esponenti

=\frac{3^4}{2^4}a^{3\cdot 4}b^{1\cdot 4}=\frac{81}{16}a^{12}b^{4}

Il primo è andato.



Calcoliamo la potenza (-1,4\  xy^3 z)^{2}:

(-1,4\ x y^3 z)^2=\left(-\frac{7}{5}x y^3 z\right)^2=

Distribuiamo 2 sia al coefficiente, sia a ciascun fattore della parte letterale

=\left(-\frac{7}{5}\right)^{2}\cdot (x^{1})^{2}\cdot (y^{3})^{2}\cdot (z^{1})^{2}=

dopodiché sfruttiamo le proprietà delle potenze per portare a termine i calcoli

\\ =\frac{7^{2}}{5^{2}}x^{1\cdot 2}y^{3\cdot 2}z^{1\cdot 2}= \\ \\ \\ =\frac{49}{25}x^{2}y^{6}z^{2}



Procediamo allo stesso identico modo per determinare (-0,875\ a^2 y^3)^{2}

\\ (-0,875\ a^2 y^{3})^{2}=\left(-\frac{7}{8}a^{2}y^{3}\right)^{2}= \\ \\ \\ =\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}\cdot (a^{2})^{2}\cdot (y^{3})^2=\\ \\ \\ =\frac{49}{64}a^{2\cdot 2}y^{3\cdot 2}=\frac{49}{64}a^{4}y^{6}

Abbiamo finito!
Ringraziano: Omega, Ifrit
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Os