Potenze di monomi con numeri decimali #17455

avt
FAQ
Frattale
Ho bisogno di una mano per determinare le potenze di alcuni monomi a coefficienti decimali. Le mie perplessità risiedono nella gestione dei numeri decimali: in teoria dovrei passare alle loro frazioni generatrici, non è così?

Determinare le seguenti potenze di monomi

(-1,5 a^3b)^(4) ; (-1,4 xy^3 z)^(2) ; (-0,875 a^2 y^3)^(2)

Grazie.
Ringraziano: Pi Greco, LittleMar, Ifrit, Brin
 
 

Potenze di monomi con numeri decimali #17456

avt
Pi Greco
Kraken
Il calcolo della potenza n-esima di un monomio richiede una buona padronanza delle proprietà delle potenze, le quali intervengono in pressoché tutti i passaggi che useremo.

Dal punto di vista operativo, eleveremo a n sia la parte numerica, sia tutti i fattori letterali, moltiplicando per n i loro esponenti.

L'esercizio, purtroppo, presenta una difficoltà maggiore: i coefficienti dei monomi base sono numeri decimali limitati: in queste circostanze, occorre associare loro le cosiddette frazioni generatrici.

La frazione generatrice di un numero decimale limitato è la frazione che ha al numeratore il numero privato della virgola, mentre al denominatore troviamo un uno seguito da tanti zeri quante sono le cifre della parte decimale.

Nel nostro caso, i coefficienti delle basi di

(-1,5 a^3b)^(4) ; (-1,4 xy^3 z)^(2) ; (-0,875 a^2 y^3)^(2)

sono -1,5; -1,4 e -0,875 e le loro frazioni generatrici sono:

-1,5 = -(15)/(10) = -(3)/(2) ;-1,4 = -(14)/(10) = -(7)/(5) ;-0,875 = -(875)/(1000) = -(7)/(8)

per cui le potenze diventano:

(-1,5 a^3b)^(4) = (-(3)/(2)a^(3)b)^(4) ; (-1,4 xy^3 z)^(2) = (-(7)/(5)xy^3z)^2 ; (-0,875 a^2 y^3)^(2) = (-(7)/(8)a^2 y^3)^(2)

Ora siamo in grado di esplicitare le tre potenze, attenendoci alla definizione riportata in precedenza.

(-1,5 a^3b)^(4) = (-(3)/(2)a^(3)b)^(4) =

Distribuiamo l'esponente a ciascun fattore del monomio di base

= (-(3)/(2))^4·(a^(3))^(4)·(b^(1))^(4) =

dopodiché esplicitiamo la potenza di -(3)/(2), attenendoci alla definizione di potenza di una frazione, e le varie potenze di potenze, moltiplicando tra loro gli esponenti

= (3^4)/(2^4)a^(3·4)b^(1·4) = (81)/(16)a^(12)b^(4)

Il primo è andato.



Calcoliamo la potenza (-1,4 xy^3 z)^(2):

(-1,4 x y^3 z)^2 = (-(7)/(5)x y^3 z)^2 =

Distribuiamo 2 sia al coefficiente, sia a ciascun fattore della parte letterale

= (-(7)/(5))^(2)·(x^(1))^(2)·(y^(3))^(2)·(z^(1))^(2) =

dopodiché sfruttiamo le proprietà delle potenze per portare a termine i calcoli

= (7^(2))/(5^(2))x^(1·2)y^(3·2)z^(1·2) = (49)/(25)x^(2)y^(6)z^(2)



Procediamo allo stesso identico modo per determinare (-0,875 a^2 y^3)^(2)

(-0,875 a^2 y^(3))^(2) = (-(7)/(8)a^(2)y^(3))^(2) = (-(7)/(8))^(2)·(a^(2))^(2)·(y^(3))^2 = (49)/(64)a^(2·2)y^(3·2) = (49)/(64)a^(4)y^(6)

Abbiamo finito!
Ringraziano: Omega, Ifrit
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Os