Quoziente e resto di una divisione tra polinomi con Ruffini

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Quoziente e resto di una divisione tra polinomi con Ruffini #17436

avt
FAQ
Punto
Dovrei determinare il quoziente e il resto di una divisione tra polinomi a coefficienti letterali, usando la regola di Ruffini. Sinceramente non so proprio da dove iniziare, ecco perché chiedo il vostro aiuto.

Usare la regola di Ruffini per ricavare il quoziente e il resto della seguente divisione rispetto alla lettera a

(a^4+a-2ba^3-3b^2a^2):(a-3b)

Grazie.
Ringraziano: Pi Greco, matteo, Marcoxt92
 
 

Quoziente e resto di una divisione tra polinomi con Ruffini #18814

avt
Ifrit
Ambasciatore
Prima di determinare il quoziente e il resto della divisione polinomiale a coefficienti letterali

(a^4+a-2ba^3-3b^2a^2):(a-3b)

rispetto alla lettera a con la regola di Ruffini, bisogna:

- controllare che il dividendo N(a) e il divisore D(a) siano polinomi ordinati rispetto alle potenze decrescenti di a, in caso contrario procederemo con l'ordinamento

\\ N(a)=a^4-3ba^3-3b^2a^2+a\\ \\ \mbox{e} \\ \\ D(a)=a-3b

- verificare che i polinomi contengano tutte le potenze della lettere, in caso contrario inseriamo gli zeri segnaposto: nel caso in esame, il dividendo ha il termine noto nullo.

N(a)=a^4-3ba^3-3b^2a^2+a+0

Infine, ma non meno importante, è necessario che il divisore sia un binomio di primo grado rispetto alla lettera a, in caso contrario la regola di Ruffini non può essere applicata.

Scriviamo per riga i coefficienti (letterali) del polinomio dividendo, tracciamo una riga verticale prima del coefficiente di a^4 e un'altra poco prima del termine noto. Disegniamo inoltre una linea orizzontale così da ottenere la seguente tabella:

\begin{array}{c|ccccccc|c}&1&&-2b&&-3b^2&&1&0\\ &&&&&&&&\\ &&&&&&&&\\ \hline &&&&&&&&\end{array}

Sulla seconda riga, riportiamo il termine noto del divisore, cambiato di segno

\begin{array}{c|ccccccc|c}&1&&-2b&&-3b^2&&1&0\\ &&&&&&&&\\ 3b&&&&&&&&\\ \hline &&&&&&&&\end{array}

dopodiché inneschiamo l'algoritmo di Ruffini per poter completare la tabella. Il primo passo prevede di scrivere 1 sotto la linea orizzontale

\begin{array}{c|ccccccc|c}&1&&-2b&&-3b^2&&1&0\\ &&&&&&&&\\ 3b&&&&&&&&\\ \hline &1&&&&&&&\end{array}

e di moltiplicarlo per 3b, incolonnando il prodotto sotto il termine -2b. Poiché 3b\cdot 1=3b, la tabella diventa

\begin{array}{c|ccccccc|c}&1&&-2b&&-3b^2&&1&0\\ &&&&&&&&\\ 3b&&&3b&&&&&\\ \hline &1&&&&&&&\end{array}

Determiniamo la somma tra i monomi simili -2b\ \mbox{e} \ 3b

-2b+3b=b

e riportiamo il risultato sotto la linea di separazione orizzontale

\begin{array}{c|ccccccc|c}&1&&-2b&&-3b^2&&1&0\\ &&&&&&&&\\ 3b&&&3b&&&&&\\ \hline &1&&b&&&&&\end{array}

Sfruttiamo il medesimo ragionamento per determinare gli altri elementi della tabella: moltiplichiamo 3b\ \mbox{e} \ b

3b\cdot b=3b^2

e incolonniamo il prodotto al di sotto del termine -3b^2

\begin{array}{c|ccccccc|c}&1&&-2b&&-3b^2&&1&0\\ &&&&&&&&\\ 3b&&&3b&&3b^2&&&\\ \hline &1&&b&&&&&\end{array}

Addizioniamo -3b^2 \ \mbox{e} \ 3b^2 e scriviamo la somma sotto la linea orizzontale

\begin{array}{c|ccccccc|c}&1&&-2b&&-3b^2&&1&0\\ &&&&&&&&\\ 3b&&&3b&&3b^2&&&\\ \hline &1&&b&&0&&&\end{array}

Moltiplichiamo 3b\ \mbox{e} \ 0, riportiamo il prodotto sotto l'1 e sommiamo

\begin{array}{c|ccccccc|c}&1&&-2b&&-3b^2&&1&0\\ &&&&&&&&\\ 3b&&&3b&&3b^2&&0&\\ \hline &1&&b&&0&&1&\end{array}

Ultimo passaggio: riportiamo il prodotto tra 3b\ \mbox{e} \ 1 sotto lo zero e sommiamo

\begin{array}{c|ccccccc|c}&1&&-2b&&-3b^2&&1&0\\ &&&&&&&&\\ 3b&&&3b&&3b^2&&0&3b\\ \hline &1&&b&&0&&1&3b\end{array}

Ora che la tabella è completa, possiamo ricavare il quoziente e il resto della divisione considerando esclusivamente gli elementi dell'ultima riga della tabella.

Si noti infatti che i numeri della terza riga compresi tra le linee verticali (1, \ b, \ 0 \ \mbox{e} \ 1) rappresentano i coefficienti del polinomio quoziente, riportati secondo le potenze decrescenti della lettera a

Q(a)=a^3+ba^2+0a+1=a^3+ba^2+1

L'ultimo elemento della terza riga rappresenta, invece, il resto della divisione

R(a)=3b

Per confermare la correttezza dell'esercizio, è sufficiente verificare che la somma tra il resto e il prodotto tra il divisore e il quoziente sia uguale a resto, ossia

Q(a)(a-3b)+R(a)=a^4-2ba^3-3b^2a^2+a

Sviluppiamo i calcoli al primo membro

Q(a)(a-3b)+R(a)=(a^3+ba^2+1)(a-3b)+3b=

cominciando proprio dal prodotto tra i polinomi

=a^4-3ba^3+ba^3-3b^2 a^2+a-3b+3b=

Sommiamo i monomi simili e scriviamo il risultato

=a^4-2ba^3-3b^2a^2+a=N(a)

Poiché il polinomio ottenuto coincide con il dividendo, concludiamo che l'esercizio è svolto correttamente.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Marcoxt92, CarFaby
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