Quoziente e resto di una divisione tra polinomi con Ruffini

Dovrei determinare il quoziente e il resto di una divisione tra polinomi a coefficienti letterali, usando la regola di Ruffini. Sinceramente non so proprio da dove iniziare, ecco perché chiedo il vostro aiuto.

Usare la regola di Ruffini per ricavare il quoziente e il resto della seguente divisione rispetto alla lettera

Grazie.

Prima di determinare il quoziente e il resto della divisione polinomiale a coefficienti letterali

rispetto alla lettera con la regola di Ruffini, bisogna:

- controllare che il dividendo e il divisore siano polinomi ordinati rispetto alle potenze decrescenti di , in caso contrario procederemo con l'ordinamento

- verificare che i polinomi contengano tutte le potenze della lettere, in caso contrario inseriamo gli zeri segnaposto: nel caso in esame, il dividendo ha il termine noto nullo.

Infine, ma non meno importante, è necessario che il divisore sia un binomio di primo grado rispetto alla lettera , in caso contrario la regola di Ruffini non può essere applicata.

Scriviamo per riga i coefficienti (letterali) del polinomio dividendo, tracciamo una riga verticale prima del coefficiente di e un'altra poco prima del termine noto. Disegniamo inoltre una linea orizzontale così da ottenere la seguente tabella:

Sulla seconda riga, riportiamo il termine noto del divisore, cambiato di segno

dopodiché inneschiamo l'algoritmo di Ruffini per poter completare la tabella. Il primo passo prevede di scrivere 1 sotto la linea orizzontale

e di moltiplicarlo per , incolonnando il prodotto sotto il termine . Poiché , la tabella diventa

Determiniamo la somma tra i monomi simili

e riportiamo il risultato sotto la linea di separazione orizzontale

Sfruttiamo il medesimo ragionamento per determinare gli altri elementi della tabella: moltiplichiamo

e incolonniamo il prodotto al di sotto del termine

Addizioniamo e scriviamo la somma sotto la linea orizzontale

Moltiplichiamo , riportiamo il prodotto sotto l'1 e sommiamo

Ultimo passaggio: riportiamo il prodotto tra sotto lo zero e sommiamo

Ora che la tabella è completa, possiamo ricavare il quoziente e il resto della divisione considerando esclusivamente gli elementi dell'ultima riga della tabella.

Si noti infatti che i numeri della terza riga compresi tra le linee verticali rappresentano i coefficienti del polinomio quoziente, riportati secondo le potenze decrescenti della lettera

L'ultimo elemento della terza riga rappresenta, invece, il resto della divisione

Per confermare la correttezza dell'esercizio, è sufficiente verificare che la somma tra il resto e il prodotto tra il divisore e il quoziente sia uguale a resto, ossia

Sviluppiamo i calcoli al primo membro

cominciando proprio dal prodotto tra i polinomi

Sommiamo i monomi simili e scriviamo il risultato

Poiché il polinomio ottenuto coincide con il dividendo, concludiamo che l'esercizio è svolto correttamente.