Quoziente e resto di una divisione tra polinomi con Ruffini

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#17436
avt
FAQ
Frattale

Dovrei determinare il quoziente e il resto di una divisione tra polinomi a coefficienti letterali, usando la regola di Ruffini. Sinceramente non so proprio da dove iniziare, ecco perché chiedo il vostro aiuto.

Usare la regola di Ruffini per ricavare il quoziente e il resto della seguente divisione rispetto alla lettera a

(a^4+a−2ba^3−3b^2a^2):(a−3b)

Grazie.

Ringraziano: Pi Greco, matteo, Marcoxt92
#18814
avt
Amministratore

Prima di determinare il quoziente e il resto della divisione polinomiale a coefficienti letterali

(a^4+a−2ba^3−3b^2a^2):(a−3b)

rispetto alla lettera a con la regola di Ruffini, bisogna:

- controllare che il dividendo N(a) e il divisore D(a) siano polinomi ordinati rispetto alle potenze decrescenti di a, in caso contrario procederemo con l'ordinamento

 N(a) = a^4−3ba^3−3b^2a^2+a ; e ; D(a) = a−3b

- verificare che i polinomi contengano tutte le potenze della lettere, in caso contrario inseriamo gli zeri segnaposto: nel caso in esame, il dividendo ha il termine noto nullo.

N(a) = a^4−3ba^3−3b^2a^2+a+0

Infine, ma non meno importante, è necessario che il divisore sia un binomio di primo grado rispetto alla lettera a, in caso contrario la regola di Ruffini non può essere applicata.

Scriviamo per riga i coefficienti (letterali) del polinomio dividendo, tracciamo una riga verticale prima del coefficiente di a^4 e un'altra poco prima del termine noto. Disegniamo inoltre una linea orizzontale così da ottenere la seguente tabella:

c|ccccccc|c 1 −2b −3b^2 1 0 ; ; ; hline

Sulla seconda riga, riportiamo il termine noto del divisore, cambiato di segno

c|ccccccc|c 1 −2b −3b^2 1 0 ; ; 3b ; hline

dopodiché inneschiamo l'algoritmo di Ruffini per poter completare la tabella. Il primo passo prevede di scrivere 1 sotto la linea orizzontale

c|ccccccc|c 1 −2b −3b^2 1 0 ; ; 3b ; hline 1

e di moltiplicarlo per 3b, incolonnando il prodotto sotto il termine −2b. Poiché 3b·1 = 3b, la tabella diventa

c|ccccccc|c 1 −2b −3b^2 1 0 ; ; 3b 3b ; hline 1

Determiniamo la somma tra i monomi simili −2b e 3b

−2b+3b = b

e riportiamo il risultato sotto la linea di separazione orizzontale

c|ccccccc|c 1 −2b −3b^2 1 0 ; ; 3b 3b ; hline 1 b

Sfruttiamo il medesimo ragionamento per determinare gli altri elementi della tabella: moltiplichiamo 3b e b

3b·b = 3b^2

e incolonniamo il prodotto al di sotto del termine −3b^2

c|ccccccc|c 1 −2b −3b^2 1 0 ; ; 3b 3b 3b^2 ; hline 1 b

Addizioniamo −3b^2 e 3b^2 e scriviamo la somma sotto la linea orizzontale

c|ccccccc|c 1 −2b −3b^2 1 0 ; ; 3b 3b 3b^2 ; hline 1 b 0

Moltiplichiamo 3b e 0, riportiamo il prodotto sotto l'1 e sommiamo

c|ccccccc|c 1 −2b −3b^2 1 0 ; ; 3b 3b 3b^2 0 ; hline 1 b 0 1

Ultimo passaggio: riportiamo il prodotto tra 3b e 1 sotto lo zero e sommiamo

c|ccccccc|c 1 −2b −3b^2 1 0 ; ; 3b 3b 3b^2 0 3b ; hline 1 b 0 1 3b

Ora che la tabella è completa, possiamo ricavare il quoziente e il resto della divisione considerando esclusivamente gli elementi dell'ultima riga della tabella.

Si noti infatti che i numeri della terza riga compresi tra le linee verticali (1, b, 0 e 1) rappresentano i coefficienti del polinomio quoziente, riportati secondo le potenze decrescenti della lettera a

Q(a) = a^3+ba^2+0a+1 = a^3+ba^2+1

L'ultimo elemento della terza riga rappresenta, invece, il resto della divisione

R(a) = 3b

Per confermare la correttezza dell'esercizio, è sufficiente verificare che la somma tra il resto e il prodotto tra il divisore e il quoziente sia uguale a resto, ossia

Q(a)(a−3b)+R(a) = a^4−2ba^3−3b^2a^2+a

Sviluppiamo i calcoli al primo membro

Q(a)(a−3b)+R(a) = (a^3+ba^2+1)(a−3b)+3b =

cominciando proprio dal prodotto tra i polinomi

= a^4−3ba^3+ba^3−3b^2 a^2+a−3b+3b =

Sommiamo i monomi simili e scriviamo il risultato

= a^4−2ba^3−3b^2a^2+a = N(a)

Poiché il polinomio ottenuto coincide con il dividendo, concludiamo che l'esercizio è svolto correttamente.

Ringraziano: Omega, Pi Greco, Marcoxt92, CarFaby
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