Espressione con i radicali #17249

avt
lux
Cerchio
Mi servirebbe il vostro aiuto per un'espressione con i radicali che non riesco a semplificare:

\sqrt[6]{9}-5\sqrt[9]{27}-\sqrt[3]{81}+\sqrt[3]{24}

Grazie a chi mi aiuterà!
 
 

Espressione con i radicali #17255

avt
Omega
Amministratore
Ciao Lux!

Dunque, vogliamo scrivere in forma semplificata la seguente espressione con i radicali:

\sqrt[6]{9}-5\sqrt[9]{27}-\sqrt[3]{81}+\sqrt[3]{24}

In tal caso il trucco per risolvere questo genere di esercizi consiste nel ricondurre i radicali a potenze e applicare le proprietà delle potenze.

Tutto quello di cui abbiamo bisogno è la definizione di radice:

\sqrt[m]{x^n}=x^{\frac{n}{m}}

La definizione consiste cioè nel fatto che una qualsiasi radice di una potenza si può scrivere come una potenza, il cui esponente è una frazione con numeratore l'esponente del radicando e denominatore l'indice di radice.

Molto meglio in simboli piuttosto che a parole.

Se non ci fosse l'esponente nel radicando, niente paura:

\sqrt[m]{x}=\sqrt[m]{x^1}:=x^{\frac{1}{m}}

Siamo pronti per cominciare: scriviamo i radicandi dell'espressione come potenze. Dobbiamo solo fattorizzarli nel prodotto di numeri primi

\sqrt[6]{3\cdot 3}-5\sqrt[9]{3\cdot 3\cdot 3}-\sqrt[3]{3\cdot 3\cdot 3\cdot 3}+\sqrt[3]{3\cdot 8}

vale a dire

\sqrt[6]{3^2}-5\sqrt[9]{3^3}-\sqrt[3]{3^4}+\sqrt[3]{3\cdot 2\cdot 2\cdot 2}

Applichiamo la definizione di radice

3^{\frac{2}{6}}-5\cdot 3^{\frac{3}{9}}-3^{\frac{4}{3}}+(3\cdot 2^3)^{\frac{1}{3}}

Nei primi tre addendi semplifichiamo gli esponenti, nell'ultimo addendo usiamo una ben nota proprietà delle potenze (distribuiamo l'esponente ai fattori della base)

3^{\frac{1}{3}}-5\cdot 3^{\frac{1}{3}}-3^{\frac{4}{3}}+(3\cdot 2^3)^{\frac{1}{3}}

Consideriamo il terzo addendo: dai primi due addendi è chiaro che ci piacerebbe tanto avere una radice cubica di 3 moltiplicata per un coefficiente. Possiamo ricondurre il terzo addendo a questa forma, di modo da poter fare poi i conti? Sì, possiamo, infatti

\frac{4}{3}=\frac{3+1}{3}=1+\frac{1}{3}

quindi

3^{\frac{1}{3}}-5\cdot 3^{\frac{1}{3}}-3^{1+\frac{1}{3}}+(3\cdot 2^3)^{\frac{1}{3}}

Per una ben nota proprietà delle potenze possiamo riscrivere il terzo addendo come

3^{\frac{1}{3}}-5\cdot 3^{\frac{1}{3}}-3^{1}\cdot 3^{\frac{1}{3}}+(3\cdot 2^3)^{\frac{1}{3}}

cioè

3^{\frac{1}{3}}-5\cdot 3^{\frac{1}{3}}-3\cdot 3^{\frac{1}{3}}+(3\cdot 2^3)^{\frac{1}{3}}

La stessa proprietà dobbiamo applicarla all'ultimo addendo

3^{\frac{1}{3}}-5\cdot 3^{\frac{1}{3}}-3\cdot 3^{\frac{1}{3}}+3^{\frac{1}{3}}\cdot 2^{3\cdot \frac{1}{3}}

da cui

\\ 3^{\frac{1}{3}}-5\cdot 3^{\frac{1}{3}}-3\cdot 3^{\frac{1}{3}}+3^{\frac{1}{3}}\cdot 2^{1}\\ \\ \\ 3^{\frac{1}{3}}-5\cdot 3^{\frac{1}{3}}-3\cdot 3^{\frac{1}{3}}+2\cdot 3^{\frac{1}{3}}

A questo punto riscriviamo le potenze frazionarie come radici

\sqrt[3]{3}-5\sqrt[3]{3}-3\sqrt[3]{3}+2\sqrt[3]{3}

e facciamo i conti esattamente come nel calcolo letterale

\\ (1-5-3+2)\sqrt[3]{3}\\ \\ -5\sqrt[3]{3}

Ecco fatto!
Ringraziano: Pi Greco, lux, Danni

Re: Espressione con i radicali #17258

avt
Danni
Sfera
Riciao lux pure da me!

Ti propongo un procedimento alternativo rispetto a quello di Omega ma del tutto equivalente

\sqrt[6]{9}- 5\sqrt[9]{27} - \sqrt[3]{81} + \sqrt[3]{24}

Vediamoli uno per uno

\sqrt[6]{9} = \sqrt[6]{3^{2}} = \sqrt[3]{3}

(abbiamo diviso indice ed esponente per 2)

\sqrt[9]{27} = \sqrt[9]{3^{3}} = \sqrt[3]{3}

(abbiamo diviso indice ed esponente per 3)

\sqrt[3]{81} = \sqrt[3]{3^{4}} = \sqrt[3]{3\cdot3^{3}} = 3\cdot\sqrt[3]{3}

(abbiamo portato fuori dalla radice il 3 che ha esponente uguale all'indice)

\sqrt[3]{24} = \sqrt[3]{2^{3}\cdot3}} = 2\cdot\sqrt[3]{3}

(abbiamo portato fuori dalla radice il 2 che ha esponente uguale all'indice)

Ricostruiamo il tutto:

\\ \sqrt[6]{9}- 5\sqrt[9]{27} - \sqrt[3]{81} + \sqrt[3]{24}=\\ \\ =\sqrt[3]{3} -5\sqrt[3]{3}- 3\sqrt[3]{3}+2\sqrt[3]{3}=\\ \\ = \left(1 - 5 - 3 + 2\right)\sqrt[3]{3} = - 5\sqrt[3]{3}

e abbiamo finito. Ciao*
Ringraziano: Omega, Pi Greco, lux
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Os