Equazione fratta con denominatori di secondo grado

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Equazione fratta con denominatori di secondo grado #17189

avt
marcello
Banned
Avrei bisogno del vostro aiuto per calcolare le soluzioni di un'equazione fratta. Dopo aver imposto le condizioni di esistenza, non sono più riuscito ad andare avanti.

Calcolare le eventuali soluzioni della seguente equazione

\frac{1}{x^2-3x}-\frac{x}{x^2-6x+9}=-\frac{1}{x-3}

Grazie.
 
 

Equazione fratta con denominatori di secondo grado #17198

avt
Omega
Amministratore
Dobbiamo calcolare le soluzioni dell'equazione fratta di primo grado

\frac{1}{x^2-3x}-\frac{x}{x^2-6x+9}=-\frac{1}{x-3}

e la prima cosa da fare è scomporre i polinomi a denominatore

x^2-3x \ \ , \ \ x^2-6x+9 \ \ , \ \ x-3

Per scomporre x^2-3x possiamo raccogliere il fattore comune x

x^2-3x=x(x-3)

Il trinomio x^2-6x+9 è lo sviluppo del quadrato di binomio (x-3)^2, pertanto:

x^2-6x+9=(x-3)^2

Il polinomio x-3 è irriducibile perché di primo grado.

A questo punto imponiamo le condizioni di esistenza richiedendo che i vari denominatori che contengono l'incognita siano diversi da 0.

x^2-3x\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ x(x-3)\ne 0

Usiamo la legge di annullamento del prodotto e consideriamo le relazioni

x\ne 0 \ \ \ , \ \ \ x-3\ne 0

da cui

x\ne 0 \ \ \ , \ \ \ x\ne 3

Per quanto riguarda il secondo denominatore consideriamo l'equazione

x^2-6x+9\ne 0

equivalente a

(x-3)^2\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ x-3\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ x\ne 3

Imponiamo infine che x-3 sia diverso da zero.

x-3\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ x\ne 3

Possiamo concludere che l'insieme di esistenza delle soluzioni è:

\mbox{C.E.}: \ x\ne 0, \ x\ne 3

Ora trasportiamo tutti i termini dell'equazione al primo membro e sostituiamo i denominatori con le rispettive scomposizioni

\frac{1}{x(x-3)}-\frac{x}{(x-3)^2}+\frac{1}{x-3}=0

Calcoliamo il minimo comune multiplo tra i polinomi a denominatore. Nulla di complicato! È sufficiente moltiplicare tra loro i fattori non comuni e comuni, presi una sola volta e con il più grande esponente.

\mbox{m.c.m.}[x(x-3), (x-3)^2,x-3]=x(x-3)^2

Non ci resta che esprimere le frazioni algebriche a denominatore comune

\frac{1\cdot (x-3)-x\cdot x+x(x-3)}{x(x-3)^2}=0

Per x\ne 0, x\ne 3 possiamo tranquillamente cancellare x(x-3)^2 e ottenere l'equazione equivalente

(x-3)-x\cdot x+x(x-3)=0

A questo punto calcoliamo i prodotti

x-3-x^2+x^2-3x=0

e sommiamo i monomi simili, riconducendoci così all'equazione di primo grado

-2x-3=0

Non ci resta che risolvere questa equazione: isoliamo la x al primo membro e otteniamo il valore x=-\frac{3}{2}.

Poiché le condizioni di esistenza sono

x\ne 0, \ x\ne 3

essa è effettivamente la soluzione dell'equazione fratta.
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Os