Equazione di 2° grado fratta con i radicali

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Equazione di 2° grado fratta con i radicali #17181

avt
marklycons
Cerchio
Non sono in grado di trovare le soluzioni di un'equazione fratta di secondo grado a coefficienti irrazionali. Ho provato di tutto, ma i miei risultati sono diversi da quelli del libro.

Calcolare le eventuali soluzioni della seguente equazione

3-(8)/(x-√(2)-1) = (4)/(x-√(2)+1)(1-(x-√(2)+1)/(x-√(2)-1))

Grazie.
 
 

Equazione di 2° grado fratta con i radicali #17182

avt
Ifrit
Amministratore
Prima di determinare le eventuali soluzioni dell'equazione fratta di secondo grado

3-(8)/(x-√(2)-1) = (4)/(x-√(2)+1)(1-(x-√(2)+1)/(x-√(2)-1))

occupiamoci delle sue condizioni di esistenza, richiedendo che siano diversi da 0 i denominatori che contengono l'incognita x

x-√(2)-1 ne 0 ; x-√(2)+1 ne 0

da cui segue che l'insieme di esistenza delle soluzioni è dato da

C.E.: x ne√(2)+1 ∧ x ne√(2)-1

dove ∧ è il connettivo logico "e".

Il prossimo passo prevede di calcolare il minimo comune multiplo al primo membro e al secondo membro dentro le parentesi:

(3(x-√(2)-1)-8)/(x-√(2)-1) = (4)/(x-√(2)+1)((x-√(2)-1-(x-√(2)+1))/(x-√(2)-1))

dopodiché svolgiamo i passaggi necessari a cancellare le parentesi tonde

(3x-3√(2)-3-8)/(x-√(2)-1) = (4)/(x-√(2)+1)((x-√(2)-1-x+√(2)-1)/(x-√(2)-1))

Sommiamo i monomi simili

(3x-3√(2)-11)/(x-√(2)-1) = (4)/(x-√(2)+1)((-2)/(x-√(2)-1))

e continuiamo con i passaggi algebrici

(3x-3√(2)-11)/(x-√(2)-1) = -(8)/((x-√(2)+1)(x-√(2)-1))

Calcoliamo il minimo comune multiplo tra i polinomi al denominatore che è:

mcm = (x-√(2)+1)(x-√(2)-1)

e riportiamo le frazioni algebriche a denominatore comune

((3x-3√(2)-11)(x-√(2)+1))/((x-√(2)+1)(x-√(2)-1)) = -(8)/((x-√(2)+1)(x-√(2)-1))

I denominatori sono superflui perché sono uguali membro a membro

(3x-3√(2)-11)(x-√(2)+1) = -8

Svolgiamo il prodotto tra i polinomi al primo membro

3x^2-3√(2)x+3x-3√(2)x+3·2-3√(2)-11x+11√(2)-11+8 = 0

e sommiamo i termini simili, prestando la massima attenzione ai radicali

 3x^2+(3-11-3√(2)-3√(2))x+(6+8√(2)-11+8) = 0 ; 3x^2+(-8-6√(2))x+(3+8√(2)) = 0

Ci siamo ricondotti all'equazione di secondo grado in cui:

- il coefficiente del termine in x^2 è a = 3;

- il coefficiente del termine in x è b = -8-6√(2);

- il termine noto è c = 3+8√(2).

A questo punto calcoliamo il discriminante dell'equazione:

 Δ = b^2-4ac = (-8-6√(2))^2-4·3·(3+8√(2)) = ; 64+36·2+2·(-8)(-6√(2))-12(3+8√(2)) = 64+72+96√(2)-36-96√(2) = 100

Calcoliamone la radice quadrata

√(Δ) = 10

e scriviamo le soluzioni dell'equazione di secondo grado:

 x_(1,2) = (-b±√(Δ))/(2a) = (-(-8-6√(2))±10)/(6) = (8+6√(2)±10)/(6) = (-2+6√(2))/(6) = -(1)/(3)+√(2) = x_1 ; (18+6√(2))/(6) = 3+√(2) = x_2

Poiché sia x_1 che x_2 soddisfano le condizioni di esistenza, possiamo concludere che essi sono anche soluzioni dell'equazione fratta, perciò il suo insieme delle soluzioni è dato da:

S: x_1 = (1)/(3)+√(2) , x_2 = 3+√(2)

Abbiamo finito.
Ringraziano: Omega, Pi Greco
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Os