Raccoglimento totale su un termine binomio

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Raccoglimento totale su un termine binomio #17116

avt
MaryADC90
Frattale
Ho bisogno di una mano per fattorizzare un polinomio usando la tecnica del raccoglimento totale. Se con gli altri esercizi non ho avuto alcuna difficoltà, in quello che vi voglio proporre non so esattamente come procedere perché il fattore comune è un binomio: come mi devo comportare in questi casi?

Utilizzare la tecnica del raccoglimento totale per fattorizzare il seguente polinomio

2(a+b)+3x(a+b)

Grazie mille.
 
 

Raccoglimento totale su un termine binomio #17238

avt
Omega
Amministratore
Il nostro compito consiste nell'usare il metodo del raccoglimento totale per fattorizzare il polinomio

2(a+b)+3x(a+b)

Per prima cosa analizziamo i termini che lo compongono, vale a dire:

2(a+b) \ \ \ \mbox{e} \ \ \ 3x(a+b)

Essi condividono il fattore a+b, per cui siamo autorizzati a esprimere il polinomio dato come prodotto tra a+b e un altro polinomio i cui termini si ottengono dividendo 2(a+b)\ \mbox{e} \ 3x(a+b) per il fattore comune a+b. Scriviamo:

2(a+b)+3x(a+b)=(a+b)[2(a+b):(a+b)+3x(a+b):(a+b)]=

Per esplicitare la divisione (a+b):(a+b), basta avvalersi delle proprietà delle potenze e, in particolare, della regola sul quoziente di due potenze con la stessa base.

\\ =(a+b)[2(a+b)^{1-1}+3x(a+b)^{1-1}]=\\ \\ =(a+b)[2(a+b)^{0}+3x(a+b)^{0}]=

Ricordando che un numero (non nullo) elevato a 0 è uguale a 1, la precedente espressione diventa

=(a+b)[2+3x]

È opportuno sottolineare che molti dei passaggi riportati hanno il compito di mettere in chiaro come funziona il metodo del raccoglimento totale e possono essere tranquillamente bypassati. Nelle verifiche basta riportare il passaggio:

2(a+b)+3x(a+b)=(a+b)(2+3x)

Ecco fatto!
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Os