Radici di un polinomio con regola di Ruffini

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Radici di un polinomio con regola di Ruffini #17045

avt
silvia91
Frattale
Avrei bisogno di una mano con il calcolo delle radici di un polinomio di terzo grado con il metodo di Ruffini. Più precisamente, dovrei prima di tutto scomporre il polinomio con la regola di Ruffini e in seguito ricavare gli zeri.

Scomporre il polinomio di terzo grado

P(x)=8x^3-4x+1

utilizzando la regola di Ruffini. Determinare tutti i suoi zeri.

Grazie.
 
 

Radici di un polinomio con regola di Ruffini #17053

avt
Danni
Sfera
L'esercizio è composto da due richieste: dobbiamo scomporre il polinomio

P(x)=8x^3-4x+1

usando la regola di Ruffini e determinare i suoi zeri.

Iniziamo dalla scomposizione del polinomio osservando che:

- il grado del polinomio è 3;

- P(x) è un polinomio ordinato rispetto alle potenze decrescenti di x;

- il coefficiente direttivo, vale a dire il coefficiente del monomio di grado massimo, è 8, mentre il termine noto è 1.

Per poter innescare il metodo di Ruffini, è necessario determinare (almeno) una radice razionale di P(x), del tipo \frac{p}{q} dove p è un divisore intero del termine noto, mentre q è un divisore del coefficiente del termine di grado massimo.

Calcoliamo i divisori interi di 8

\mbox{Divisori di }8=\{\pm 1, \ \pm 2, \pm 4, \pm 8\}

e i divisori interi di 1

\mbox{Divisori di }1=\{\pm 1\}

Se esiste, la radice razionale \frac{p}{q} dovrà necessariamente essere una delle seguenti frazioni

\left\{\pm 1,\ \pm\frac{1}{2}, \ \pm\frac{1}{4},\ \pm\frac{1}{8}\right\}

A questo punto procediamo per tentativi: sostituiamo i valori al posto di x. Se la valutazione del polinomio è nulla, avremo trovato una radice, in caso contrario passiamo al valore successivo.

In questo caso, il valore che annulla il polinomio è \frac{1}{2}, infatti

\\ P\left(\frac{1}{2}\right)=8\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^3+2\left(\frac{1}{2}\right)-3= \\ \\ \\ = 8\cdot\frac{1}{8}+1-3=0

Abbiamo a disposizione il valore con cui innescare Ruffini: creiamo la tipica tabella e svolgiamo i calcoli

\begin{array}{c|ccccc|c}&8&&0&&-4&1\\ &&&&&&\\ \frac{1}{2}&&&4&&2&-1\\ \hline &8&&4&&-2&//\end{array}

In base al teorema di Ruffini, possiamo esprimere P(x) come prodotto tra il binomio x-\frac{1}{2} e il polinomio Q(x) con coefficienti uguali ai numeri dell'ultima riga della tabella, ossia:

Q(x)=8x^2+4x-2

dunque

\\ P(x)=\left(x-\frac{1}{2}\right)Q(x)=\left(x-\frac{1}{2}\right)(8x^2+2x-2)=\\ \\ \\ =2\left(x-\frac{1}{2}\right)(4x^2+2x-1)= \\ \\ =(2x-1)(4x^2+2x-1)

Potremmo pensare bene di scomporre il polinomio

4x^2+2x-1

reiterando la regola di Ruffini, però ci accorgeremmo presto che non è possibile determinare lo zero razionale, pertanto non è fattorizzabile (in \mathbb{Q}).


Calcolo degli zeri di P(x)

Per poter determinare gli zeri del polinomio P(x) impostiamo la seguente relazione

P(x)=0 \ \ \ \to \ \ \ 8x^3-4x+1=0

Essa è un'equazione scomponibile, infatti:

P(x)=0 \ \ \ \to \ \ \ (2x-1)(4x^2+2x-1)=0

Risolviamola avvalendoci della legge di annullamento del prodotto, mediante la quale ricaviamo due relazioni

2x-1=0 \ \ \ \vee \ \ \ 4x^2+2x-1=0

La prima è una semplice equazione di primo grado, soddisfatta per x=\frac{1}{2}, infatti

2x-1=0 \ \ \ \to \ \ \ 2x=1 \ \ \ \to \ \ \ x=\frac{1}{2}

La relazione

4x^2+2x-1=0

è invece un'equazione di secondo grado completa che possiamo risolvere con la formula del delta quarti

\frac{\Delta}{4}=\left(\frac{b}{2}\right)^2-ac=1+4=5

pertanto

x_{1,2}=\frac{-\frac{b}{2}\pm\sqrt{\frac{\Delta}{4}}}{a}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{4}=\begin{cases}\frac{1-\sqrt{5}}{4}=x_1 \\ \\ \frac{1+\sqrt{5}}{4}=x_2\end{cases}

Abbiamo finalmente tutte le informazioni per concludere che gli zeri del polinomio P(x) sono:

x_0=\frac{1}{2} \ \ \ , \ \ \ x_1=\frac{1-\sqrt{5}}{4}\ \ \ , \ \ \ x_2=\frac{1+\sqrt{5}}{4}

Abbiamo finito.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, federicoverona, silvia91
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Os