Scomporre un trinomio con frazioni

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Scomporre un trinomio con frazioni #16874

avt
paul spider
Cerchio
Non sono in grado di trasformare un trinomio a coefficienti fratti nel quadrato di un binomio. Ho tentato diversi approcci senza venirne a capo. Potreste aiutarmi?

Scomporre il seguente polinomio esprimendolo come quadrato di un binomio.

\frac{x^2}{4}-\frac{xy}{3}+\frac{y^2}{9}

Grazie.
 
 

Scomporre un trinomio con frazioni #16910

avt
Omega
Amministratore
Per poter scomporre il polinomio

\frac{x^2}{4}-\frac{xy}{3}+\frac{y^2}{9}

possiamo avvalerci del prodotto notevole:

(A-B)^2=A^2-2AB+B^2

detto quadrato di binomio. Se letta al contrario, la precedente relazione consente di esprimere il trinomio A^2-2AB+B^2 come il quadrato della differenza tra i termini A\ \mbox{e} \ B.

Osserviamo che per poter applicare il prodotto notevole occorre:

- verificare che siano presenti due termini quadratici aventi coefficienti concordi ed estrarre le relative basi;

- controllare che il doppio prodotto delle basi trovate nel passaggio precedente siano uguali al restante termine del trinomio.

Se le due condizioni sono soddisfatte, il trinomio è lo sviluppo del quadrato di un binomio, altrimenti no!

Analizziamo il trinomio

\frac{x^2}{4}-\frac{xy}{3}+\frac{y^2}{9}

Esso è formato da tre elementi:

- il primo monomio, \frac{x^2}{4}, è il quadrato di \frac{x}{2}, infatti per le proprietà delle potenze si ha:

\frac{x^2}{4}=\frac{x^2}{2^2}=\left(\frac{x}{2}\right)^2

- il terzo monomio, \frac{y^2}{9}, è il quadrato di \frac{y}{3}, infatti per le proprietà delle potenze possiamo scrivere i seguenti passaggi:

\frac{y^2}{9}=\frac{y^2}{3^2}=\left(\frac{y}{3}\right)^2

- il secondo monomio -\frac{xy}{3} è, a meno del segno meno, il doppio prodotto tra \frac{x}{2}\ \mbox{e} \ \frac{y}{3}, infatti:

2\cdot\frac{x}{2}\cdot\frac{y}{3}=2\cdot\frac{xy}{6}=\frac{xy}{3}

Poiché il doppio prodotto ha coefficiente negativo, possiamo scomporre il trinomio dato come segue:

\frac{x^2}{4}-\frac{xy}{3}+\frac{y^2}{9}=\left(\frac{x}{2}-\frac{y}{3}\right)^2

Abbiamo finito.
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Os