Equazione logaritmica fratta, esercizio

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Equazione logaritmica fratta, esercizio #16873

avt
Jumpy
Cerchio
Ragazzi, non riesco proprio a risolvere un esercizio in cui devo determinare le soluzioni di un'equazione fratta con logaritmi.

Mi aiutereste per favore?

Calcolare le eventuali soluzioni dell'equazione logaritmica fratta

\frac{3}{\log_{2}(x) (1+\log_{2}(x))}=2-\frac{3}{\log_{2}(x)}

Grazie mille.
 
 

Equazione logaritmica fratta, esercizio #16905

avt
Omega
Amministratore
Prima di procedere con i calcoli che consentono di ricavare le eventuali soluzioni dell'equazione logaritmica

\frac{3}{\log_{2}(x) (1+\log_{2}(x))}=2-\frac{3}{\log_{2}(x)}

bisogna imporre le dovute condizioni di esistenza. Più precisamente richiederemo che:

- i vari denominatori che contengono l'incognita siano diversi da zero

\\ \log_{2}(x)(1+\log_{2}(x))\ne 0 \\ \\ \log_{2}(x)\ne 0

- gli argomenti dei logaritmi devono essere maggiori di zero

x>0

Queste condizioni devono valere contemporaneamente, ecco perché costituiranno il sistema di disequazioni

\begin{cases}\log_{2}(x)(1+\log_{2}(x))\ne 0\\ \\ \log_{2}(x)\ne 0\\ \\ x>0\end{cases}

Analizziamo le singole relazioni partendo dalla prima con la contronominale della legge di annullamento del prodotto: un prodotto è non nullo se e solo se i fattori che lo compongono sono tutti diversi da zero

\log_{2}(x)(1+\log_{2}(x))\ne 0 \ \ \ \iff \ \ \ \log_{2}(x)\ne 0 \ \wedge \ 1+\log_{2}(x)\ne 0

Dalla prima ricaviamo x\ne 1 mentre dalla seconda otteniamo x\ne 2^{-1}. Il sistema diventa quindi

\begin{cases}x>0\\ \\ x\ne 1 \\ \\ x\ne 2^{-1}\end{cases}

da cui deduciamo che l'equazione è ben posta nel momento in cui l'incognita soddisfa i seguenti vincoli

C.E.:\ x>0\ \wedge\ x\ne 1\ \wedge \ x\ne 2^{-1}

Nota: in base alla definizione di potenza con esponente negativo 2^{-1}=\frac{1}{2}.

Occupiamoci dell'equazione avvalendoci di una opportuna sostituzione. Se poniamo t=\log_{2}(x) essa diventa

\frac{3}{t(1+t)}=2-\frac{3}{t}

Ci siamo ricondotti a un'equazione fratta di secondo grado nell'incognita t, infatti se la esprimiamo in forma normale, otteniamo

\\ \frac{3}{t(1+t)}-2+\frac{3}{t}=0 \\ \\ \\ \frac{3-2t(1+t)+3(1+t)}{t(1+t)}=0

Per t\ne 0, t\ne -1 siamo autorizzati a moltiplicare a destra e a sinistra per il denominatore comune, ottenendo così la seguente equazione di secondo grado

\\ 3-2t-2t^2+3+3t=0 \\ \\ -2t^2+t+6=0

da cui cambiando i segni cosicché il coefficiente di t^2 sia positivo

2t^2-t-6=0

Posto

a=2 \ \ \ , \ \ \ b=-1 \ \ \ , \ \ \ c=-6

le soluzioni dell'equazione in t si ottengono facilmente con la formula

\\ t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{1\pm\sqrt{1-4\cdot 2\cdot (-6)}}{4}= \\ \\ \\ =\frac{1\pm 7}{4}=\begin{cases}\frac{1-7}{4}=-\frac{3}{2}=t_1 \\ \\ \frac{1+7}{4}=2=t_2\end{cases}

Attenzione! Nel momento in cui abbiamo considerato l'equazione fratta, abbiamo richiesto che l'incognita t fosse diversa da 0 e da 1, perché se assumesse questi valori, l'equazione stessa perderebbe di significato. Detto ciò, possiamo accettare come soluzione sia t=-\frac{3}{2} che t=2

Tenendo conto della sostituzione fatta, la relazione t=-\frac{3}{2} si traduce nell'equazione logaritmica

\log_{2}(x)=-\frac{3}{2}

da cui segue che

x=2^{-\frac{3}{2}}\ \ \ \to \ \ \ x=\frac{1}{\sqrt{8}}

Nota: nell'ultimo passaggio abbiamo utilizzato la definizione di potenza con esponente fratto.

Dalla relazione t=2 ricaviamo l'equazione logaritmica elementare

\log_{2}(x)=2 \ \ \ \to \ \ \ x=2^2=4

In definitiva, l'equazione di partenza è soddisfatta dai valori

x=\frac{1}{\sqrt{8}}\ \ \ , \ \ \ x=4

L'esercizio è concluso.
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Os