Equazione logaritmica fratta, esercizio #16873

avt
Jumpy
Cerchio
Ragazzi, non riesco proprio a risolvere un esercizio in cui devo determinare le soluzioni di un'equazione fratta con logaritmi.

Mi aiutereste per favore?

Calcolare le eventuali soluzioni dell'equazione logaritmica fratta

(3)/(log_(2)(x) (1+log_(2)(x))) = 2-(3)/(log_(2)(x))

Grazie mille.
 
 

Equazione logaritmica fratta, esercizio #16905

avt
Omega
Amministratore
Prima di procedere con i calcoli che consentono di ricavare le eventuali soluzioni dell'equazione logaritmica

(3)/(log_(2)(x) (1+log_(2)(x))) = 2-(3)/(log_(2)(x))

bisogna imporre le dovute condizioni di esistenza. Più precisamente richiederemo che:

- i vari denominatori che contengono l'incognita siano diversi da zero

 log_(2)(x)(1+log_(2)(x)) ne 0 ; log_(2)(x) ne 0

- gli argomenti dei logaritmi devono essere maggiori di zero

x > 0

Queste condizioni devono valere contemporaneamente, ecco perché costituiranno il sistema di disequazioni

log_(2)(x)(1+log_(2)(x)) ne 0 ; log_(2)(x) ne 0 ; x > 0

Analizziamo le singole relazioni partendo dalla prima con la contronominale della legge di annullamento del prodotto: un prodotto è non nullo se e solo se i fattori che lo compongono sono tutti diversi da zero

log_(2)(x)(1+log_(2)(x)) ne 0 ⇔ log_(2)(x) ne 0 ∧ 1+log_(2)(x) ne 0

Dalla prima ricaviamo x ne 1 mentre dalla seconda otteniamo x ne 2^(-1). Il sistema diventa quindi

x > 0 ; x ne 1 ; x ne 2^(-1)

da cui deduciamo che l'equazione è ben posta nel momento in cui l'incognita soddisfa i seguenti vincoli

C.E.: x > 0 ∧ x ne 1 ∧ x ne 2^(-1)

Nota: in base alla definizione di potenza con esponente negativo 2^(-1) = (1)/(2).

Occupiamoci dell'equazione avvalendoci di una opportuna sostituzione. Se poniamo t = log_(2)(x) essa diventa

(3)/(t(1+t)) = 2-(3)/(t)

Ci siamo ricondotti a un'equazione fratta di secondo grado nell'incognita t, infatti se la esprimiamo in forma normale, otteniamo

 (3)/(t(1+t))-2+(3)/(t) = 0 ; (3-2t(1+t)+3(1+t))/(t(1+t)) = 0

Per t ne 0, t ne-1 siamo autorizzati a moltiplicare a destra e a sinistra per il denominatore comune, ottenendo così la seguente equazione di secondo grado

 3-2t-2t^2+3+3t = 0 ;-2t^2+t+6 = 0

da cui cambiando i segni cosicché il coefficiente di t^2 sia positivo

2t^2-t-6 = 0

Posto

a = 2 , b = -1 , c = -6

le soluzioni dell'equazione in t si ottengono facilmente con la formula

 t_(1,2) = (-b±√(b^2-4ac))/(2a) = (1±√(1-4·2·(-6)))/(4) = (1±7)/(4) = (1-7)/(4) = -(3)/(2) = t_1 ; (1+7)/(4) = 2 = t_2

Attenzione! Nel momento in cui abbiamo considerato l'equazione fratta, abbiamo richiesto che l'incognita t fosse diversa da 0 e da 1, perché se assumesse questi valori, l'equazione stessa perderebbe di significato. Detto ciò, possiamo accettare come soluzione sia t = -(3)/(2) che t = 2

Tenendo conto della sostituzione fatta, la relazione t = -(3)/(2) si traduce nell'equazione logaritmica

log_(2)(x) = -(3)/(2)

da cui segue che

x = 2^(-(3)/(2)) → x = (1)/(√(8))

Nota: nell'ultimo passaggio abbiamo utilizzato la definizione di potenza con esponente fratto.

Dalla relazione t = 2 ricaviamo l'equazione logaritmica elementare

log_(2)(x) = 2 → x = 2^2 = 4

In definitiva, l'equazione di partenza è soddisfatta dai valori

x = (1)/(√(8)) , x = 4

L'esercizio è concluso.
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Os