Sistema lineare 3x3 con il metodo di Cramer

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Sistema lineare 3x3 con il metodo di Cramer #16665

avt
SweetLove
Cerchio
Mi servirebbe il vostro aiuto per risolvere un sistema lineare in tre equazioni e in tre incognite con il metodo di Cramer. In realtà, conosco molto bene la procedura, però il sistema è a coefficienti irrazionali che complicano notevolmente i calcoli.

Usare il metodo di Cramer per determinare le eventuali soluzioni del seguente sistema lineare.

\begin{cases}x-2y+z=0 \\ \\ 2x-y-z=-3\sqrt{2}\\ \\ \sqrt{2}x-\sqrt{2}y+\sqrt{2}z=4\end{cases}

Grazie mille.
 
 

Sistema lineare 3x3 con il metodo di Cramer #16667

avt
Ifrit
Ambasciatore
Il nostro compito consiste nell'applicare il metodo di Cramer per ricavare le eventuali triple ordinate (x,y,z) le cui coordinate soddisfano le equazioni del sistema lineare:

\begin{cases}x-2y+z=0 \\ \\ 2x-y-z=-3\sqrt{2}\\ \\ \sqrt{2}x-\sqrt{2}y+\sqrt{2}z=4\end{cases}

Osserviamo immediatamente che il sistema è già espresso in forma normale, pertanto possiamo innescare subito il metodo.

Indichiamo con A la matrice dei coefficienti delle incognite, vale a dire quella tabella che ha per prima colonna i coefficienti di x, per seconda colonna i coefficienti di y e per terza colonna i coefficienti di z

A=\begin{bmatrix}1&-2&1\\ 2&-1&-1\\ \sqrt{2}&-\sqrt{2}&\sqrt{2}\end{bmatrix}

A questo punto, usiamo la regola di Sarrus per calcolare il determinante di A. Consideriamo, quindi, la tabella formata accostando ad A le tre colonne della matrice stessa:

\mbox{det}(A)=\left|\begin{matrix}1&-2&1\\ 2&-1&-1\\ \sqrt{2}&-\sqrt{2}&\sqrt{2}\end{matrix}\right|\begin{matrix}1&-2&1\\ 2&-1&-1\\ \sqrt{2}&-\sqrt{2}&\sqrt{2}\end{matrix}=

dopodiché calcoliamo la differenza tra la somma dei prodotti di quegli elementi che formano le diagonali complete da sinistra verso destra e la somma dei prodotti di quegli elementi che formano le diagonali complete da destra verso sinistra.

=1\cdot(-1)\cdot\sqrt{2}+(-2)\cdot(-1)\cdot(\sqrt{2})+1\cdot 2\cdot (-\sqrt{2})+\\ \\ -\left[1\cdot(-1)\cdot(\sqrt{2})+(-2)\cdot 2\cdot\sqrt{2}+1\cdot (-1)\cdot(-\sqrt{2})\right]=

Non ci resta che semplificare l'espressione con i radicali, dando precedenza ai prodotti per i quali è richiesta anche la regola dei segni.

\\ =-\sqrt{2}+2\sqrt{2}-2\sqrt{2}-\left[-\sqrt{2}-4\sqrt{2}+\sqrt{2}\right]= \\ \\ = -\sqrt{2}+4\sqrt{2}=3\sqrt{2}

Ottimo! Il determinante della matrice dei coefficienti è diverso da zero, pertanto il sistema ammette una e una sola soluzione (x,y,z).

Per ricavare il valore da attribuire alle incognite occorre costruire tre matrici che indicheremo con A_{x}, \ A_{y}\ \mbox{e} \ A_{z}.

A_{x} è la matrice che si ottiene rimpiazzando la prima colonna di A con la colonna dei termini noti del sistema:

A_{x}=\begin{bmatrix}0&-2&1\\ -3\sqrt{2}&-1&-1\\ 4&-\sqrt{2}&\sqrt{2}\end{bmatrix}

A_{y} è la matrice che si ottiene rimpiazzando la seconda colonna di A con la colonna dei termini noti:

A_{y}=\begin{bmatrix}1&0&1\\ 2&-3\sqrt{2}&-1\\ \sqrt{2}&4&\sqrt{2}\end{bmatrix}

A_{z} è la matrice che si ottiene rimpiazzando la terza colonna di A con la colonna dei termini noti:

A_{z}=\begin{bmatrix}1&-2&0\\ 2&-1&-3\sqrt{2}\\ \sqrt{2}&-\sqrt{2}&4\end{bmatrix}

Calcoliamo il determinante di ciascuna matrice: ci torneranno utili per il calcolo di x, \ y \ \mbox{e} \ z. Partiamo dal determinante di A_{x}

\\ \mbox{det}(A_{x})=\left|\begin{matrix}0&-2&1\\ -3\sqrt{2}&-1&-1\\ 4&-\sqrt{2}&\sqrt{2}\end{matrix}\right|\begin{matrix}0&-2&1\\ -3\sqrt{2}&-1&-1\\ 4&-\sqrt{2}&\sqrt{2}\end{matrix}=\\ \\ \\ =0\cdot (-1)\cdot\sqrt{2}+(-2)\cdot (-1)\cdot 4+1\cdot(-3\sqrt{2})\cdot (-\sqrt{2})+\\ \\ -\left[1\cdot(-1)\cdot 4+(-2)\cdot(-3\sqrt{2})\cdot\sqrt{2}+0\cdot(-1)\cdot (-\sqrt{2})\right]= \\ \\ =8+3\cdot 2-\left[-4+2\cdot 3\cdot 2\right]=\\ \\ =8+6-[-4+12]=14-8=6

Calcoliamo il determinante di A_{y}:

\\ \mbox{det}(A_{y})=\left|\begin{matrix}1&0&1\\ 2&-3\sqrt{2}&-1\\ \sqrt{2}&4&\sqrt{2}\end{matrix}\right|\begin{matrix}1&0&1\\ 2&-3\sqrt{2}&-1\\ \sqrt{2}&4&\sqrt{2}\end{matrix}= \\ \\ \\ = 1\cdot (-3\sqrt{2})\cdot\sqrt{2}+0\cdot (-1)\cdot\sqrt{2}+1\cdot 2\cdot 4+\\ \\ -\left[1\cdot(-3\sqrt{2})\cdot\sqrt{2}+0\cdot 2\cdot \sqrt{2}+1\cdot(-1)\cdot 4\right]= \\ \\ =-3\cdot 2+8-\left[-3\cdot 2-4\right]=-6+8-[-6-4]=2+10=12

e infine dedichiamoci al calcolo del determinante associato alla matrice A_{z}

\\ \mbox{det}(A_{z})=\left|\begin{matrix}1&-2&0\\ 2&-1&-3\sqrt{2}\\ \sqrt{2}&-\sqrt{2}&4\end{matrix}\right|\begin{matrix}1&-2&0\\ 2&-1&-3\sqrt{2}\\ \sqrt{2}&-\sqrt{2}&4\end{matrix}= \\ \\ \\ =1\cdot (-1)\cdot 4+(-2)\cdot (-3\sqrt{2})\cdot\sqrt{2}+0\cdot 2\cdot (-\sqrt{2})+ \\ \\ -\left[0\cdot(-1)\cdot\sqrt{2}+(-2)\cdot 2\cdot 4+1\cdot(-3\sqrt{2})\cdot(-\sqrt{2})\right]= \\ \\ =-4+6\cdot 2-\left[-16+3\cdot 2\right]=\\ \\ = -4+12-[-16+6]=8+10=18

Noti i determinanti delle matrici A, \ A_{x}, \ A_{y} \ \mbox{e} \ A_{z}, siamo finalmente in grado di ricavare i valori da attribuire alle incognite: è sufficiente avvalersi delle seguenti relazioni

x=\frac{\mbox{det}(A_{x})}{\mbox{det}(A)}\ \ \ , \ \ \ y=\frac{\mbox{det}(A_{y})}{\mbox{det}(A)} \ \ \ , \ \ \ z=\frac{\mbox{det}(A_{z})}{\mbox{det}(A)}

Sostituendo ai simboli i rispettivi risultati, ricaviamo

\\ x=\frac{\mbox{det}(A_{x})}{\mbox{det}(A)}=\frac{6}{3\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}} \\ \\ \\ y=\frac{\mbox{det}(A_{y})}{\mbox{det}(A)}=\frac{12}{3\sqrt{2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}\\ \\ \\ z=\frac{\mbox{det}(A_{z})}{\mbox{det}(A)}=\frac{18}{3\sqrt{2}}=\frac{6}{\sqrt{2}}

Si noti che è possibile razionalizzare i denominatori moltiplicando e dividendo per \sqrt{2}:

\\ x=\frac{2}{\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2} \\ \\ \\ y=\frac{4}{\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}\\ \\ \\ z=\frac{6}{\sqrt{2}}=\frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{6\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}

Possiamo finalmente concludere che il sistema

\begin{cases}x-2y+z=0 \\ \\ 2x-y-z=-3\sqrt{2}\\ \\ \sqrt{2}x-\sqrt{2}y+\sqrt{2}z=4\end{cases}

è determinato e l'unica soluzione è la tripla (x,y,z) dove

x=\sqrt{2} \ \ \ , \ \ \ y=2\sqrt{2} \ \ \ \mbox{e} \ \ \ z=3\sqrt{2}

Abbiamo finito!
Ringraziano: Omega, LittleMar, Danni, SweetLove
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Os