Sistema lineare 3x3 con il metodo di Cramer

Mi servirebbe il vostro aiuto per risolvere un sistema lineare in tre equazioni e in tre incognite con il metodo di Cramer. In realtà, conosco molto bene la procedura, però il sistema è a coefficienti irrazionali che complicano notevolmente i calcoli.

Usare il metodo di Cramer per determinare le eventuali soluzioni del seguente sistema lineare.



Grazie mille.

Il nostro compito consiste nell'applicare il metodo di Cramer per ricavare le eventuali triple ordinate le cui coordinate soddisfano le equazioni del sistema lineare:



Osserviamo immediatamente che il sistema è già espresso in forma normale, pertanto possiamo innescare subito il metodo.

Indichiamo con la matrice dei coefficienti delle incognite, vale a dire quella tabella che ha per prima colonna i coefficienti di , per seconda colonna i coefficienti di e per terza colonna i coefficienti di



A questo punto, usiamo la regola di Sarrus per calcolare il determinante di . Consideriamo, quindi, la tabella formata accostando ad le tre colonne della matrice stessa:



dopodiché calcoliamo la differenza tra la somma dei prodotti di quegli elementi che formano le diagonali complete da sinistra verso destra e la somma dei prodotti di quegli elementi che formano le diagonali complete da destra verso sinistra.



Non ci resta che semplificare l'espressione con i radicali, dando precedenza ai prodotti per i quali è richiesta anche la regola dei segni.



Ottimo! Il determinante della matrice dei coefficienti è diverso da zero, pertanto il sistema ammette una e una sola soluzione .

Per ricavare il valore da attribuire alle incognite occorre costruire tre matrici che indicheremo con .

è la matrice che si ottiene rimpiazzando la prima colonna di con la colonna dei termini noti del sistema:



è la matrice che si ottiene rimpiazzando la seconda colonna di con la colonna dei termini noti:



è la matrice che si ottiene rimpiazzando la terza colonna di con la colonna dei termini noti:



Calcoliamo il determinante di ciascuna matrice: ci torneranno utili per il calcolo di . Partiamo dal determinante di



Calcoliamo il determinante di :



e infine dedichiamoci al calcolo del determinante associato alla matrice



Noti i determinanti delle matrici , siamo finalmente in grado di ricavare i valori da attribuire alle incognite: è sufficiente avvalersi delle seguenti relazioni



Sostituendo ai simboli i rispettivi risultati, ricaviamo



Si noti che è possibile razionalizzare i denominatori moltiplicando e dividendo per :



Possiamo finalmente concludere che il sistema



è determinato e l'unica soluzione è la tripla dove



Abbiamo finito!