Dov'è l'errore in queste equazioni goniometriche?

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Dov'è l'errore in queste equazioni goniometriche? #166

avt
Diddi
Cerchio
Ho trovato diverse difficoltà in questi esercizi: due riguardano le equazioni trigonometriche, nel terzo devo verificare un'identità goniometrica. Potreste aiutarmi?

(1) Calcolare le eventuali soluzioni dell'equazione

(\sqrt{2}\sin(x)-1)\cdot\tan(x)=0



(2) Esplicitare l'insieme delle soluzioni associato all'equazione goniometrica fratta

\frac{\cos^2(x) + 3}{-\sin^2(x)} = \frac{2\cos(x)+3}{1+\cos(x)}


(3) Dimostrare la veridicità della seguente uguaglianza per ogni x\in\mathbb{R}

2\sin(x)\cos(2x) + \sin(x)=\sin(3x)

Grazie ancora!
 
 

Re: Dov'è l'errore in queste equazioni goniometriche? #167

avt
Alpha
Cerchio
Esercizio (1)

Per ricavare le soluzioni dell'equazione goniometrica

(\sqrt{2}\sin(x)-1)\tan(x)=0

possiamo avvalerci della legge di annullamento del prodotto la quale assicura che il prodotto al primo membro è zero nel momento in cui almeno uno dei fattori che compongono il prodotto sia zero:

\\ \sqrt{2}\sin(x)-1=0 \\ \\ \tan(x)=0

Iniziamo dalla risoluzione dell'equazione con il seno

\sqrt{2}\sin(x)-1=0

In questo caso è sufficiente isolare \sin(x) al primo membro

\sin(x)=\frac{1}{\sqrt{2}}

e razionalizzare il denominatore del secondo membro moltiplicando e dividendo per \sqrt{2}

\sin(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}

A questo punto bisogna ricordare i valori notevoli del seno e tenere a mente la periodicità del seno con cui possiamo affermare che le famiglie di valori che soddisfano l'equazione sono

x=\frac{\pi}{4}+2k\pi \\ \\ \\ x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi

dove k è un qualsiasi numero intero.

Occupiamoci dell'equazione con la tangente

\tan(x)=0

Essa è un'equazione goniometrica elementare da cui otteniamo la famiglia di soluzioni

x=k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

In conclusione, le soluzioni dell'equazione

(\sqrt{2}\sin(x)-1)\tan(x)=0

sono

x=\frac{\pi}{4}+2k\pi \\ \\ \\ x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi \\ \\ \\ x=k\pi

dove k è libero di variare nell'insieme dei numeri interi.


Esercizio (2)

Il nostro obiettivo consiste nell'esplicitare l'insieme delle soluzioni associato all'equazione fratta con seno e coseno

\frac{\cos^2(x)+3}{-\sin^2(x)}=\frac{2\cos(x)+3}{1+\cos(x)}

ma prima di avventurarci nei calcoli, dobbiamo innanzitutto imporre le condizioni di esistenza: richiederemo che i denominatori contenenti l'incognita siano diversi da zero.

Imponiamo che il primo denominatore sia non nullo:

-\sin^2(x)\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ \sin(x)\ne 0

da cui

x\ne k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

Per quanto concerne la non nullità del secondo denominatore, dobbiamo imporre la condizione

1+\cos(x)\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ \cos(x)\ne -1

da cui

x\ne k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

Le condizioni che definiscono l'insieme di esistenza delle soluzioni sono:

C.E.:\ x\ne k\pi\ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

Per facilitare il nostro compito facciamo in modo nei due membri compaiano soli coseni: più esplicitamente utilizziamo la relazione fondamentale della goniometria

\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1 \ \ \ \mbox{per ogni}\ \alpha\in\mathbb{R}

che ci permette di esprimere il seno al quadrato in termini di coseno al quadrato

\sin(\alpha)=1-\cos^2(\alpha) \ \ \ \mbox{per ogni}\ \alpha \in\mathbb{R}

Mediante questa relazione, l'equazione diventa

\frac{\cos^2(x)+3}{\cos^2(x)-1}=\frac{2\cos(x)+3}{1+\cos(x)}

A questo punto possiamo pensar bene di procedere per sostituzione: ponendo t=\cos(x) l'equazione diventa

\frac{t^2+3}{t^2-1}=\frac{2t+3}{1+t}

vale a dire un'equazione fratta di secondo grado. Per risolverla, scomponiamo la differenza di quadrati a denominatore

\frac{t^2+3}{(t+1)(t-1)}=\frac{2t+3}{1+t}

trasportiamo tutti i termini al primo membro prestando la massima attenzione ai segni

\frac{t^2+3}{(t+1)(t-1)}-\frac{2t+3}{1+t}=0

Determiniamo il minimo comune multiplo dei polinomi a denominatore e svolgiamo i calcoli che ne scaturiscono

\frac{t^2+3-(2t+3)(t-1)}{(t+1)(t-1)}=0

Per t\ne -1 \ \mbox{e} \ t\ne 1 possiamo cancellare il denominatore ottenendo così l'equazione equivalente

t^2+3-(2t+3)(t-1)=0

Una volta sviluppato il prodotto e sommati tra loro i monomi simili, otteniamo

-t^2-t+6=0

da cui cambiando i segni otteniamo l'equazione di secondo grado nell'incognita t

t^2+t-6=0

con coefficienti

a=1 \ \ \  , \ \ \ b=1 \ \ \ , \ \ \ c=-6

Per determinarne le soluzioni, calcoliamo il discriminante con la formula

\Delta=b^2-4ac= 1^2-4\cdot 1\cdot(-6)=25

Le soluzioni associate si ottengono invece con la relazione

\\ t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1\pm \sqrt{25}}{2}= \\ \\ \\ =\frac{-1\pm 5}{2}=\begin{cases}\frac{-1-5}{2}=-3=t_1 \\ \\ \frac{1+5}{2}=2=t_2\end{cases}

Ricapitolando: l'equazione

t^2+t-6=0

è soddisfatta per

t=-3 \ \ \ \vee \ \ \ t=2

dove \vee è il simbolo matematico che indica il connettivo logico "or".

Ripristiniamo l'incognita x: poiché t=\cos(x) la relazione t=-3 si traduce nell'equazione goniometrica

\cos(x)=-3

che è impossibile perché sappiamo che \cos(x) è una funzione limitata tra -1 e 1, dunque non può assumere il valore -3.

La relazione t=2 diventa

\cos(x)=2

anch'essa un'equazione impossibile per via della limitatezza del coseno.

In definitiva, l'equazione non ammette soluzioni, di conseguenza il suo insieme soluzione coincide con l'insieme vuoto

S=\emptyset


Esercizio (3)

Il nostro obiettivo è quello di dimostrare la seguente identità goniometrica

2\sin(x)\cos(2x)+\sin(x)=\sin(3x)

valida per ogni numero reale x.

Per agevolare i calcoli dimostreremo che il secondo membro coincide con il primo: partiremo quindi dal termine \sin(3x). Il trucco consiste nell'esprimere 3x come la somma tra 2x \ \mbox{e} \ x e applicare in seguito la formula di addizione del seno

\\ \sin(3x)=\sin(2x+x)= \\ \\ =\sin(2x)\cos(x)+\sin(x)\cos(2x)=

Sfruttiamo a questo punto le formule di duplicazione

=2\sin(x)\cos(x)\cos(x)+\sin(x)(1-2\sin^2(x))=

e sviluppiamo il prodotto nel secondo addendo

=2\sin(x)\cos^2(x)-2\sin^3(x)+\sin(x)=

Raccogliamo il fattore 2\sin(x) tra i primi due termini

=2\sin(x)(\cos^2(x)-\sin^2(x))+\sin(x)=

e osserviamo che la differenza all'interno delle parentesi tonde altro non è che un modo per esprimere \cos(2x)

=2\sin(x)\cos(2x)+\sin(x)

I passaggi algebrici hanno consentito di dimostrare che

2\sin(x)\cos(2x)+\sin(x)=\sin(3x)

Abbiamo terminato.
Ringraziano: CarFaby

Re: Dov'è l'errore in queste equazioni goniometriche? #175

avt
Diddi
Cerchio
Grazie davvero!
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Os