Come posso fare la seguente equazione con valore assoluto?

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Come posso fare la seguente equazione con valore assoluto? #16590

avt
Franz12
Punto
Mi spieghereste come risolvere questa equazione con valore assoluto? Il mio problema è che non riesco a calcolare le soluzioni perché i passaggi algebrici sono davvero tanti.

Esplicitare l'insieme delle soluzioni associato all'equazione con valore assoluto

|3-3x^2+x|=3(2x+1)

Vi ringrazio anticipatamente!
 
 

Re: Come posso fare la seguente equazione con valore assoluto? #16599

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Franz12,

innanzitutto ti invito a leggere la lezione sulle equazioni con valore assoluto.

Risolvere l'equazione

|3-3x^2+x|=3(2x+1)

equivale a considerare l'unione di due sistemi, in cui dobbiamo specificare il segno dell'argomento del valore assoluto e riscrivere di conseguenza l'equazione sfruttando la definizione stessa di modulo.

\begin{cases}3-3x^2+x\geq 0\\ \\ +(3-3x^2+x)=3(2x+1)\end{cases}\ \cup\ \begin{cases}3-3x^2+x<0\\ \\ -(3-3x^2+x)=3(2x+1)\end{cases}

Per prima cosa studiamo il segno dell'argomento del valore assoluto:

3-3x^2+x\ge 0

Riscriviamo la disequazione di secondo grado in forma canonica e risolviamola:

-3x^2+x+3\ge 0

da cui cambiando segni e invertendo il verso ricaviamo

3x^2-x-3\le 0

Indicati con a, \ b \mbox{ e } c i coefficienti della disequazione, calcoliamo le radici dell'equazione associata sfruttando la formula

x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{1\pm\sqrt{37}}{6}

e scriviamo l'insieme soluzione della disequazione di secondo grado, ossia

\frac{1-\sqrt{37}}{6}\le x\le\frac{1+\sqrt{37}}{6}

Sotto tale vincolo, il polinomio 3-3x^2+x è positivo o al più nullo, dunque siamo autorizzati a eliminare il modulo dall'equazione che diventa

3-3x^2+x=3(2x+1)

Se invece l'incognita sottostà al vincolo

x\le\frac{1-\sqrt{37}}{6}\ \vee \ x\ge\frac{1+\sqrt{37}}{6}

possiamo cancellare il modulo a patto di cambiare il segno al suo argomento

-3+3x^2-x=3(2x+1)

In definitiva, dovremo studiare i due sistemi

\begin{cases}\frac{1-\sqrt{37}}{6}\le x\le \frac{1+\sqrt{37}}{6}\\ \\ -3x^2+x+3=3(2x+1)\end{cases}\ \cup \ \begin{cases}x<\frac{1-\sqrt{37}}{6} \ \vee \ x>\frac{1+\sqrt{37}}{6} \\ \\ -(3-3x^2+x)=3(2x+1)\end{cases}

Analizziamo separatamente i due sistemi, iniziando dal primo. Risolviamo l'equazione di secondo grado

-3x^2+x+3=6x+3

Portiamo tutto al primo membro

-3x^2+x-6x+3-3=0

e sommiamo tra loro i monomi simili

-3x^2-5x=0

Ci siamo ricondotti a un'equazione spuria: raccogliamo il fattore comune x

x(-3x-5)=0

e sfruttiamo la legge di annullamento del prodotto, mediante la quale otteniamo le due equazioni

x=0 \ \ \ , \ \ \ -3x-5=0

da cui seguono i due valori

x= 0\ \ \ , \ \ \  x=-\frac{5}{3}

Solo il valore x=0 è accettabile perché rispetta la prima condizione del sistema

\frac{1-\sqrt{37}}{6}\le x\le \frac{1+\sqrt{37}}{6}

mentre il valore x=-\frac{5}{3} è da scartare.

Analizziamo ora il secondo sistema

\begin{cases}x<\frac{1-\sqrt{37}}{6}\vee x>\frac{1-\sqrt{37}}{6}(1+\sqrt{37})\\ \\ 3x^2-x-3=3(2x+1)\end{cases}

dedicando la nostra attenzione all'equazione di secondo grado

3x^2-x-3=6x+3

che scritta in forma normale diventa

3x^2-7x-6=0

Indichiamo come segue i suoi coefficienti

a_1=3 \ \ \ ,\ \ \ b_1=-7 \ \ \ , \ \ \ c_1=-6

e calcoliamone il discriminante con la formula

\Delta_1=b_1^2-4 a_1 c_1=(-7)^2-4\cdot 3\cdot(-6)=121

per cui le soluzioni associate all'equazione sono:

\\ x_{1,2}=\frac{-b_1\pm\sqrt{\Delta_1}}{2a_1}=\frac{-(-7)\pm\sqrt{121}}{2\cdot 3}= \\ \\ \\ = \frac{7\pm 11}{6}=\begin{cases}\frac{7-11}{6}=-\frac{2}{3}=x_1 \\ \\ \frac{7+11}{6}=3=x_2\end{cases}

Ora x_2=3 è una soluzione accettabile perché rispetta la prima condizione del sistema, mentre x_1= -\frac{2}{3} no, ed è dunque da scartare.

In definitiva, le soluzioni dell'equazione sono:

x=0\ \ \ \vee \ \ \ x=3

e il suo insieme soluzione è dato da:

S=\left\{0,\ 3\right\}

Abbiamo terminato.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Franz12

Re: Come posso fare la seguente equazione con valore assoluto? #16611

avt
Franz12
Punto
Grazie mille, sei stato gentilissimo!
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Os