Come posso fare la seguente equazione con valore assoluto?

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Come posso fare la seguente equazione con valore assoluto? #16590

avt
Franz12
Punto
Mi spieghereste come risolvere questa equazione con valore assoluto? Il mio problema è che non riesco a calcolare le soluzioni perché i passaggi algebrici sono davvero tanti.

Esplicitare l'insieme delle soluzioni associato all'equazione con valore assoluto

|3-3x^2+x| = 3(2x+1)

Vi ringrazio anticipatamente!
 
 

Re: Come posso fare la seguente equazione con valore assoluto? #16599

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Franz12,

innanzitutto ti invito a leggere la lezione sulle equazioni con valore assoluto.

Risolvere l'equazione

|3-3x^2+x| = 3(2x+1)

equivale a considerare l'unione di due sistemi, in cui dobbiamo specificare il segno dell'argomento del valore assoluto e riscrivere di conseguenza l'equazione sfruttando la definizione stessa di modulo.

3-3x^2+x ≥ 0 ;+(3-3x^2+x) = 3(2x+1) U 3-3x^2+x < 0 ;-(3-3x^2+x) = 3(2x+1)

Per prima cosa studiamo il segno dell'argomento del valore assoluto:

3-3x^2+x ≥ 0

Riscriviamo la disequazione di secondo grado in forma canonica e risolviamola:

-3x^2+x+3 ≥ 0

da cui cambiando segni e invertendo il verso ricaviamo

3x^2-x-3 ≤ 0

Indicati con a, b e c i coefficienti della disequazione, calcoliamo le radici dell'equazione associata sfruttando la formula

x = (-b±√(b^2-4ac))/(2a) = (1±√(37))/(6)

e scriviamo l'insieme soluzione della disequazione di secondo grado, ossia

(1-√(37))/(6) ≤ x ≤ (1+√(37))/(6)

Sotto tale vincolo, il polinomio 3-3x^2+x è positivo o al più nullo, dunque siamo autorizzati a eliminare il modulo dall'equazione che diventa

3-3x^2+x = 3(2x+1)

Se invece l'incognita sottostà al vincolo

x ≤ (1-√(37))/(6) ∨ x ≥ (1+√(37))/(6)

possiamo cancellare il modulo a patto di cambiare il segno al suo argomento

-3+3x^2-x = 3(2x+1)

In definitiva, dovremo studiare i due sistemi

(1-√(37))/(6) ≤ x ≤ (1+√(37))/(6) ;-3x^2+x+3 = 3(2x+1) U x < (1-√(37))/(6) ∨ x > (1+√(37))/(6) ;-(3-3x^2+x) = 3(2x+1)

Analizziamo separatamente i due sistemi, iniziando dal primo. Risolviamo l'equazione di secondo grado

-3x^2+x+3 = 6x+3

Portiamo tutto al primo membro

-3x^2+x-6x+3-3 = 0

e sommiamo tra loro i monomi simili

-3x^2-5x = 0

Ci siamo ricondotti a un'equazione spuria: raccogliamo il fattore comune x

x(-3x-5) = 0

e sfruttiamo la legge di annullamento del prodotto, mediante la quale otteniamo le due equazioni

x = 0 , -3x-5 = 0

da cui seguono i due valori

x = 0 , x = -(5)/(3)

Solo il valore x = 0 è accettabile perché rispetta la prima condizione del sistema

(1-√(37))/(6) ≤ x ≤ (1+√(37))/(6)

mentre il valore x = -(5)/(3) è da scartare.

Analizziamo ora il secondo sistema

x < (1-√(37))/(6) ∨ x > (1-√(37))/(6)(1+√(37)) ; 3x^2-x-3 = 3(2x+1)

dedicando la nostra attenzione all'equazione di secondo grado

3x^2-x-3 = 6x+3

che scritta in forma normale diventa

3x^2-7x-6 = 0

Indichiamo come segue i suoi coefficienti

a_1 = 3 , b_1 = -7 , c_1 = -6

e calcoliamone il discriminante con la formula

Δ_1 = b_1^2-4 a_1 c_1 = (-7)^2-4·3·(-6) = 121

per cui le soluzioni associate all'equazione sono:

x_(1,2) = (-b_1±√(Δ_1))/(2a_1) = (-(-7)±√(121))/(2·3) = (7±11)/(6) = (7-11)/(6) = -(2)/(3) = x_1 ; (7+11)/(6) = 3 = x_2

Ora x_2 = 3 è una soluzione accettabile perché rispetta la prima condizione del sistema, mentre x_1 = -(2)/(3) no, ed è dunque da scartare.

In definitiva, le soluzioni dell'equazione sono:

x = 0 ∨ x = 3

e il suo insieme soluzione è dato da:

S = 0, 3

Abbiamo terminato.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Franz12

Re: Come posso fare la seguente equazione con valore assoluto? #16611

avt
Franz12
Punto
Grazie mille, sei stato gentilissimo!
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Os