Equazioni di 2 grado fratte (3)

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Equazioni di 2 grado fratte (3) #16550

avt
marklycons
Cerchio
Ciao a tutti mi aiutate con un'equazione fratta di secondo grado? Il problema è che ci sono frazioni su frazioni e questo tipo di equazioni mi mette sempre in difficoltà!

Risolvere la seguente equazione fratta di secondo grado

\frac{1-\frac{1}{2x}}{2+\frac{1}{x}}=\frac{1}{x^2 \left(2+\frac{1}{x}\right)^2}

Grazie.
 
 

Equazioni di 2 grado fratte (3) #16594

avt
Omega
Amministratore
Per risolvere l'equazione fratta di secondo grado

\frac{1-\frac{1}{2x}}{2+\frac{1}{x}}=\frac{1}{x^2\left(2+\frac{1}{x}\right)^2}

dobbiamo innanzitutto garantire che essa sia ben posta, imponendo le corrette condizioni di esistenza. Proprio perché non è possibile dividere per zero, dobbiamo richiedere che i denominatori che contengono l'incognita siano non nulli, ossia:

\\ 2x\ne 0 \ \ \ ; \ \ \ x\ne 0 \\ \\ 2+\frac{1}{x}\ne 0 \ \ \ ; \ \ \ \ x^2\left(2+\frac{1}{x}\right)\ne 0

Le prime due relazioni hanno il medesimo insieme soluzione

x\ne 0

Per risolvere la terza disuguaglianza, vale a dire

2+\frac{1}{x}\ne0

bisogna innanzitutto esprimere il primo membro come un'unica frazione

\frac{2x+1}{x}\ne 0

dopodiché cancelliamo il denominatore, a patto di imporre che x sia non nullo

2x+1\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ x\ne-\frac{1}{2}

Possiamo infine analizzare la disuguaglianza

x^2\left(2+\frac{1}{x}\right)\ne 0

avvalendoci della legge di annullamento del prodotto che conduce alle relazioni

2+\frac{1}{x}\ne 0 \ \ \ ; \ \ \ x^2\ne 0

di cui abbiamo già studiato la prima. Per quanto concerne la seconda condizione, ricaviamo immediatamente che:

x^2\ne0 \ \ \ \to \ \ \ x\ne 0

In definitiva, l'insieme di esistenza delle soluzioni è dato da

C.E.:\ x\ne 0 \ \wedge \ x\ne -\frac{1}{2}

dove con \wedge indichiamo il connettivo logico "e".

Dopo aver analizzato le condizioni cui devono sottostare le soluzioni, facciamo un paio di conticini. Lavoriamo sul denominatore del membro di destra sfruttando la proprietà delle potenze con lo stesso esponente, grazie alla quale l'equazione diventa

\frac{1-\frac{1}{2x}}{2+\frac{1}{x}}=\frac{1}{\left[x\left(2+\frac{1}{x}\right)\right]^2}

da cui, una volta eseguita la moltiplicazione tra parentesi quadre

\frac{1-\frac{1}{2x}}{2+\frac{1}{x}}=\frac{1}{[2x+1]^2}

Occupiamoci del primo membro, eseguendo in particolare le somme algebriche sia al numeratore principale che al denominatore:

\frac{\frac{2x-1}{2x}}{\frac{2x+1}{x}}=\frac{1}{[2x+1]^2}

Scriviamo la frazione di frazioni in forma normale, moltiplicando il numeratore principale per il reciproco del denominatore principale

\frac{2x-1}{2x}\cdot\frac{x}{2x+1}=\frac{1}{[2x+1]^2}

Semplifichiamo x ed eseguiamo la moltiplicazione al primo membro

\frac{2x-1}{2(2x+1)}=\frac{1}{[2x+1]^2}

Trascriviamo a questo punto i passaggi che consentono di esprimere l'equazione fratta in forma normale: trasportiamo tutti i termini al membro di sinistra

\frac{2x-1}{2(2x+1)}-\frac{1}{[2x+1]^2}=0

e facciamo in modo che al primo membro ci sia un'unica frazione, determinando il minimo comune multiplo dei polinomi al denominatore

\frac{(2x-1)(2x+1)-2}{2(2x+1)^2}=0

da cui, cancellando il denominatore comune, otteniamo:

(2x-1)(2x+1)-2=0

Calcoliamo il prodotto tra la somma e la differenza dei monomi 2x\ \mbox{e} \ 1 esprimendolo come la differenza dei quadrati di questi ultimi

4x^2-1-2=0 \ \ \ \to \ \ \ 4x^2-3=0

Abbiamo ottenuto un'equazione di secondo grado pura che risolviamo isolando x^2 a sinistra dell'uguale

4x^2=3 \ \ \ \to \ \ \ x^2=\frac{3}{4}

da cui

x_1=-\sqrt{\frac{3}{4}}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\ \ \ ; \ \ \ x_2=\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}

Entrambi i valori sono soluzioni accettabili dell'equazione fratta, pertanto essa è un'equazione determinata e l'insieme soluzione è:

S=\left\{-\frac{\sqrt{3}}{2},\ \frac{\sqrt{3}}{2}\right\}

Abbiamo finito.
Ringraziano: Pi Greco, marklycons, jino88
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Os