Scomposizione di un binomio differenza di due cubi

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Scomposizione di un binomio differenza di due cubi #16119

avt
Noel
Punto
Dovrei scomporre un polinomio in fattori irriducibili mediante la regola sulla differenza di cubi, solo che non capisco come visto che non vi sono cubi.

Scomporre il seguente polinomio in fattori irriducibili

8x^6-27
 
 

Scomposizione di un binomio differenza di due cubi #16223

avt
Omega
Amministratore
L'esercizio chiede di scomporre il polinomio

8x^6-27

come prodotto di polinomi irriducibili. In questo caso, possiamo utilizzare la regola di scomposizione relativa alla differenza di cubi

A^3-B^3 = (A-B)(A^2+AB+B^2)

dove A e B sono le basi delle due potenze terze.

Per poter usufruire della regola, è necessario comprendere chi svolge il ruolo di A e chi quello di B, in altri termini dobbiamo capire chi sono le basi.

Le proprietà delle potenze garantiscono la veridicità delle seguenti uguaglianze

8x^6-27 = 2^3(x^2)^6-3^3 = (2x^2)^3-3^3 = (•)

mediante le quali ricaviamo

A = 2x^2 e B = 3

e in forza della regola di scomposizione concludiamo

(•) = (2x^2-3)((2x^2)^2+2x^2·3+3^2) = (2x^2-3)(4x^4+6x^2+9)

Ecco fatto!

Osservazione: il prodotto ottenuto rappresenta la scomposizione del polinomio 8x^6-27 sull'insieme dei numeri razionali. Sull'insieme dei numeri reali invece il polinomio dato può essere ulteriormente scomposto.
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