Risultato di un'espressione con prodotti notevoli?

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Risultato di un'espressione con prodotti notevoli? #15951

avt
marilittledarkheart
Punto
Mi potreste dire come risolvere e qual è il risultato di un'espressione con i polinomi, sui prodotti notevoli? Mi pare di comprendere che si debba utilizzare la regola sul cubo di binomio, e poi?

Svolgere la seguente espressione polinomiale usando i prodotti notevoli.

(x^2-xy+y^2)(x^2+xy-y^2)-x(x-y)^3-3xy(x^2+y^2)

Grazie!
 
 

Risultato di un'espressione con prodotti notevoli? #15952

avt
Ifrit
Amministratore
Per poter semplificare l'espressione polinomiale

(x^2-xy+y^2)(x^2+xy-y^2)-x(x-y)^3-3xy(x^2+y^2)

ci torneranno molto utili i prodotti notevoli. In particolare interverrà la regola relativa al prodotto della somma per la differenza di due monomi

(A+B)(A-B) = A^2-B^2

e la regola per lo sviluppo di un cubo di binomio

(A+B)^3 = A^3+3A^2B+3AB^2+B^3

Iniziamo con i passaggi che consentono di semplificare l'espressione

(x^2-xy+y^2)(x^2+xy-y^2)-x(x-y)^3-3xy(x^2+y^2) =

Possiamo riordinare i termini del primo prodotto per fare in modo che sia possibile usare la regola sul prodotto di una somma per una differenza

= (x^2-(xy-y^2))(x^2+xy-y^2)-x(x-y)^3-3xy(x^2+y^2) =

di conseguenza ricaviamo:

= (x^2)^2-(xy-y^2)^2-x(x-y)^3-3xy(x^2+y^2) =

Sfruttiamo le proprietà delle potenze per calcolare (x^2)^2 e la regola sul quadrato di binomio per esplicitare (xy-y^2)^2

= x^4-[(xy)^2+(y^2)^2-2·xy·y^2]-x(x-y)^3-3xy(x^2+y^2) =

Svolgiamo i calcoli nelle parentesi quadre

= x^4-[x^2y^2+y^4-2xy^(3)]-x(x-y)^3-3xy(x^2+y^2) =

e cambiamo i segni dei termini che delimitano, attenendoci alla regola dei segni.

= x^4-x^2y^2-y^4+2xy^(3)-x(x-y)^3-3xy(x^2+y^2) =

Procediamo con lo svolgimento: dobbiamo sviluppare il cubo di binomio attenendoci alla relativa regola

= x^4-x^2y^2-y^4+2xy^(3)-x[x^3+3x^2(-y)+3x(-y)^2+(-y)^3]-3xy(x^2+y^2) = x^4-x^2y^2-y^4+2xy^(3)-x[x^3-3x^2y+3xy^2-y^3]-3xy(x^2+y^2) =

Moltiplichiamo il monomio per il polinomio tra parentesi quadre: basta moltiplicare -x per ciascun termine del polinomio prestando la massima attenzione ai segni.

= x^4-x^2y^2-y^4+2xy^(3)-x^4+3x^3y-3x^2y^2+xy^3-3xy(x^2+y^2) =

Procediamo allo stesso modo con il prodotto tra il monomio -3xy e il binomio (x^2+y^2)

= x^4-x^2y^2-y^4+2xy^(3)-x^4+3x^3y-3x^2y^2+xy^3-3x^3y-3xy^3 =

Abbiamo praticamente finito: bisogna solamente eseguire le operazioni tra i monomi, o più precisamente sommiamo algebricamente i monomi simili!

= (1-1)x^4+(-1-3)x^2y^2-y^4+(2+1-3)xy^(3)+(3-3)x^3y = -4x^2y^2-y^4

Ecco fatto!
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Danni

Risultato di un'espressione con prodotti notevoli? #16066

avt
marilittledarkheart
Punto
Grazie mille!
Ringraziano: Ifrit, Danni
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Os