Equazioni di 2 grado fratte #15778

avt
marklycons
Cerchio
Potete aiutarmi a risolvere questa equazione fratta di secondo grado con i radicali? È proprio la presenza dei radicali che mi manda in confusione...

Determinare le eventuali soluzioni dell'equazione fratta di secondo grado

\frac{2(x-1)(x+2)-\sqrt{2}x}{\sqrt{2}x-2}=\frac{2x^2-2}{\sqrt{2}x}

Grazie.
 
 

Re: Equazioni di 2 grado fratte #15825

avt
Omega
Amministratore
Per risolvere l'equazione fratta di secondo grado

\frac{2(x-1)(x+2)-\sqrt{2}x}{\sqrt{2}x-2}=\frac{2x^2-2}{\sqrt{2}x}

bisogna innanzitutto imporre le condizioni di esistenza: i due denominatori non si devono annullare (non si può dividere per zero!)

\\ \sqrt{2}x-2\neq 0 \ \ \ \to \ \ \ x\neq \sqrt{2}\\ \\ \sqrt{2}x\neq 0\ \ \ \to \ \ \ x\neq 0

L'insieme sul quale l'equazione è ben posta è quindi:

C.E.:\  x\ne\sqrt{2} \ \ \ ; \ \ \ x\ne 0

I prossimi passaggi hanno il compito di esprimere l'equazione fratta in forma normale: dobbiamo fare in modo che al secondo membro ci sia zero, mentre il primo dev'essere espresso sotto forma di un'unica frazione algebrica.

Portando i termini al primo membro, l'equazione diventa:

\frac{2(x-1)(x+2)-\sqrt{2}x}{\sqrt{2}x-2}-\frac{2x^2-2}{\sqrt{2}x}=0

Per semplificare il più possibile i passaggi, razionalizziamo il denominatore della seconda frazione moltiplicando e dividendola per il radicale \sqrt{2}

\frac{2(x-1)(x+2)-\sqrt{2}x}{\sqrt{2}x-2}-\frac{\sqrt{2}(2x^2-2)}{\sqrt{2}\cdot\sqr{2}x}=0

da cui

\frac{2(x-1)(x+2)-\sqrt{2}x}{\sqrt{2}x-2}-\frac{\sqrt{2}(2x^2-2)}{2x}=0

Inoltre raccogliamo il fattore comune 2 al numeratore e semplifichiamolo con il denominatore

\\ \frac{2(x-1)(x+2)-\sqrt{2}x}{\sqrt{2}x-2}-\frac{2\sqrt{2}(x^2-1)}{2x}=0 \\ \\ \\ \frac{2(x-1)(x+2)-\sqrt{2}x}{\sqrt{2}x-2}-\frac{\sqrt{2}(x^2-1)}{x}=0

Per sommare le frazioni algebriche, calcoliamo il minimo comune multiplo tra i denominatori ed eseguiamo con molta cautela le operazioni

\frac{x(2(x-1)(x+2)-\sqrt{2}x)-\sqrt{2}(x^2-1)(\sqrt{2}x-2)}{x(\sqrt{2}x-2)}=0

Sotto le condizioni di esistenza, siamo autorizzati a cancellare il denominatore comune, ricavando così l'equazione equivalente

x(2(x-1)(x+2)-\sqrt{2}x)-\sqrt{2}(x^2-1)(\sqrt{2}x-2)=0

Sviluppiamo a questo punto le operazioni, iniziando dai prodotti

\\ x(2x^2-(-2+\sqrt{2})x-4)-\sqrt{2}(\sqrt{2}x^3-2x^2-\sqrt{2}x+2)=0 \\ \\  2x^3-(-2+\sqrt{2})x^2-4x-2x^3+2\sqrt{2}x^2+2x-2\sqrt{2}=0

Sommiamo tra loro i monomi simili e ordiniamo i termini secondo le potenze decrescenti dell'incognita.

(2+\sqrt{2})x^2-2x-2\sqrt{2}=0

Ci siamo ricondotti a un'equazione di secondo grado con coefficienti

a=2+\sqrt{2} \ \ \ ; \ \ \ b=-2 \ \ \ ; \ \ \ c=-2\sqrt{2}

Risolviamola calcolando il discriminante associato usando la formula del delta quarti, visto che il coefficiente di x è divisibile per 2

\\ \frac{\Delta}{4}=\left(\frac{b}{2}\right)^2-ac=(-1)^2-(2+\sqrt{2})(-2\sqrt{2})= \\ \\ =1-(-4-4\sqrt{2})=5+4\sqrt{2}

Notiamo che il delta quarti è positivo, conseguentemente l'equazione di secondo grado ammette due soluzioni reali e distinte che si ottengono sfruttando la relazione

\\ x_{1,2}=\frac{-\frac{b}{2}\pm\sqrt{\frac{\Delta}{4}}}{a}= \\ \\ \\ =\frac{1\pm\sqrt{5+4\sqrt{2}}}{2+\sqrt{2}}=\begin{cases}\frac{1-\sqrt{5+4\sqrt{2}}}{2+\sqrt{2}}=x_1 \\ \\ \frac{1+\sqrt{5+4\sqrt{2}}}{2+\sqrt{2}}=x_2\end{cases}

Entrambi i valori rispetto le condizioni di esistenza, per cui sono le soluzioni dell'equazione fratta.

Possiamo concludere quindi che essa è un'equazione determinata con insieme soluzione

S=\left\{\frac{1-\sqrt{5+4\sqrt{2}}}{2+\sqrt{2}},\  \frac{1+\sqrt{5+4\sqrt{2}}}{2+\sqrt{2}}\right\}

Osserviamo che purtroppo il radicale doppio \sqrt{5+4\sqrt{2}} non può essere ulteriormente semplificato, dunque sarebbe anche inutile razionalizzare 2+\sqrt{2}: non miglioreremmo di certo la situazione.

Re: Equazioni di 2 grado fratte #15827

avt
marklycons
Cerchio
Grazie mille!
Ringraziano: Omega
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Os