Equazioni di 2 grado fratte #15778

avt
marklycons
Cerchio
Potete aiutarmi a risolvere questa equazione fratta di secondo grado con i radicali? È proprio la presenza dei radicali che mi manda in confusione...

Determinare le eventuali soluzioni dell'equazione fratta di secondo grado

(2(x-1)(x+2)-√(2)x)/(√(2)x-2) = (2x^2-2)/(√(2)x)

Grazie.
 
 

Re: Equazioni di 2 grado fratte #15825

avt
Omega
Amministratore
Per risolvere l'equazione fratta di secondo grado

(2(x-1)(x+2)-√(2)x)/(√(2)x-2) = (2x^2-2)/(√(2)x)

bisogna innanzitutto imporre le condizioni di esistenza: i due denominatori non si devono annullare (non si può dividere per zero!)

√(2)x-2 ≠ 0 → x ≠ √(2) ; √(2)x ≠ 0 → x ≠ 0

L'insieme sul quale l'equazione è ben posta è quindi:

C.E.: x ne√(2) ; x ne 0

I prossimi passaggi hanno il compito di esprimere l'equazione fratta in forma normale: dobbiamo fare in modo che al secondo membro ci sia zero, mentre il primo dev'essere espresso sotto forma di un'unica frazione algebrica.

Portando i termini al primo membro, l'equazione diventa:

(2(x-1)(x+2)-√(2)x)/(√(2)x-2)-(2x^2-2)/(√(2)x) = 0

Per semplificare il più possibile i passaggi, razionalizziamo il denominatore della seconda frazione moltiplicando e dividendola per il radicale √(2)

(2(x-1)(x+2)-√(2)x)/(√(2)x-2)-(√(2)(2x^2-2))/(√(2)· sqr2x) = 0

da cui

(2(x-1)(x+2)-√(2)x)/(√(2)x-2)-(√(2)(2x^2-2))/(2x) = 0

Inoltre raccogliamo il fattore comune 2 al numeratore e semplifichiamolo con il denominatore

(2(x-1)(x+2)-√(2)x)/(√(2)x-2)-(2√(2)(x^2-1))/(2x) = 0 ; (2(x-1)(x+2)-√(2)x)/(√(2)x-2)-(√(2)(x^2-1))/(x) = 0

Per sommare le frazioni algebriche, calcoliamo il minimo comune multiplo tra i denominatori ed eseguiamo con molta cautela le operazioni

(x(2(x-1)(x+2)-√(2)x)-√(2)(x^2-1)(√(2)x-2))/(x(√(2)x-2)) = 0

Sotto le condizioni di esistenza, siamo autorizzati a cancellare il denominatore comune, ricavando così l'equazione equivalente

x(2(x-1)(x+2)-√(2)x)-√(2)(x^2-1)(√(2)x-2) = 0

Sviluppiamo a questo punto le operazioni, iniziando dai prodotti

x(2x^2-(-2+√(2))x-4)-√(2)(√(2)x^3-2x^2-√(2)x+2) = 0 ; 2x^3-(-2+√(2))x^2-4x-2x^3+2√(2)x^2+2x-2√(2) = 0

Sommiamo tra loro i monomi simili e ordiniamo i termini secondo le potenze decrescenti dell'incognita.

(2+√(2))x^2-2x-2√(2) = 0

Ci siamo ricondotti a un'equazione di secondo grado con coefficienti

a = 2+√(2) ; b = -2 ; c = -2√(2)

Risolviamola calcolando il discriminante associato usando la formula del delta quarti, visto che il coefficiente di x è divisibile per 2

(Δ)/(4) = ((b)/(2))^2-ac = (-1)^2-(2+√(2))(-2√(2)) = 1-(-4-4√(2)) = 5+4√(2)

Notiamo che il delta quarti è positivo, conseguentemente l'equazione di secondo grado ammette due soluzioni reali e distinte che si ottengono sfruttando la relazione

x_(1,2) = (-(b)/(2)±√((Δ)/(4)))/(a) = (1±√(5+4√(2)))/(2+√(2)) = (1-√(5+4√(2)))/(2+√(2)) = x_1 ; (1+√(5+4√(2)))/(2+√(2)) = x_2

Entrambi i valori rispetto le condizioni di esistenza, per cui sono le soluzioni dell'equazione fratta.

Possiamo concludere quindi che essa è un'equazione determinata con insieme soluzione

S = (1-√(5+4√(2)))/(2+√(2)), (1+√(5+4√(2)))/(2+√(2))

Osserviamo che purtroppo il radicale doppio √(5+4√(2)) non può essere ulteriormente semplificato, dunque sarebbe anche inutile razionalizzare 2+√(2): non miglioreremmo di certo la situazione.

Re: Equazioni di 2 grado fratte #15827

avt
marklycons
Cerchio
Grazie mille!
Ringraziano: Omega
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Os