Altro esercizio sulle equazioni di secondo grado parametriche

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Altro esercizio sulle equazioni di secondo grado parametriche #15719

avt
lux
Cerchio
Ho bisogno del vostro aiuto per studiare un'equazione parametrica di secondo grado: dovrei determinare i valori del parametro in modo tale che le soluzioni rispettino alcune condizioni.

Data l'equazione parametrica

x^2-(k^2-k+5)x+4(k^2-k+1)=0

e indicate le soluzioni con x_1\ \mbox{e}\ x_2, determinare i valori di k tali che:

\\ (a)\ \ \ x_1=-x_2 \\ \\ (b)\ \ \ x_{1}+x_2>7 \\ \\ (c)\ \ \ x_{1}\cdot x_{2}\ge 12

Grazie mille.
 
 

Re: Altro esercizio sulle parametriche #15730

avt
Danni
Sfera
Consideriamo l'equazione parametrica di secondo grado

x^2-(k^2-k+5)x+4(k^2-k+1)=0

Il nostro compito consiste nel ricavare i valori di k in modo che le soluzioni dell'equazione sottostiano ad alcune condizioni. Per risolvere il problema sarà quindi necessario avvalersi delle relazioni che legano i coefficienti dell'equazione di secondo grado e le eventuali soluzioni.

Per prima cosa, indichiamo con a,\ b \ \mbox{e} \ c rispettivamente il coefficiente di x^2, quello di x e il termine noto:

a=1 \ \ \ , \ \ \ b=-(k^2-k+5) \ \ \ , \ \ \ c=4(k^2-k-1)

Calcoliamo il discriminante associato con la relazione

\Delta=b^2-4ac=(-k^2+k-5)^2-4(4k^2-4k+4)=

Sviluppiamo il quadrato di trinomio e svolgiamo i calcoli:

\\ =k^4-2k^3+11k^2-10k+25-16k^2+16k-16= \\ \\ =k^4-2k^3-5k^2+6k+9=(k^2-k-3)^2

Il risultato è quindi il quadrato del trinomio k^2-k-3, pertanto il delta sarà certamente positivo o al più nullo: le soluzioni sono necessariamente reali indipendentemente dal valore assunto da k.

Punto (a)

Il primo punto del problema ci chiede di calcolare k di modo che le soluzioni x_{1}\ \mbox{e} \ x_2 siano opposti, ossia:

x_{1}=-x_{2}

Ciò equivale a richiedere che la somma delle soluzioni sia uguale a zero:

x_{1}+x_{2}=0

In virtù delle relazioni che legano le soluzioni e i coefficienti dell'equazione, possiamo scrivere:

x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}

da cui

x_{1}+x_{2}=0 \ \ \ \iff \ \ \ -\frac{b}{a}=0

Rimpiazziamo b\ \mbox{e} \ a con i coefficienti dell'equazione, ricavando così la relazione

-\frac{b}{a}=0 \ \ \ \to \ \ \ -\frac{-k^2+k-5}{1}=0

ossia

k^2-k+5=0

Ci siamo ricondotti a un'equazione di secondo grado in k, il cui discriminante associato è negativo, infatti:

\Delta_{k}=(-1)^2-4\cdot 1\cdot 5=1-20=-19<0

Ciò significa che non esiste alcun valore di k per cui le soluzioni dell'equazione in x siano opposte.

Punto (b)

Nel secondo punto ci viene chiesto di ricavare i valori di k di modo che la somma delle soluzioni sia maggiore di 7.

x_{1}+x_{2}>7

che equivale a richiedere che -\frac{b}{a} sia maggiore di 7

-\frac{b}{a}>7 \ \ \ \to \ \ \ -\frac{-k^2+k-5}{1}>7

Gli eventuali valori di k devono soddisfare la disequazione di secondo grado

k^2-k+5>7 \ \ \ \to \ \ \ k^2-k-2>0

ossia deve sottostare al vincolo:

k<-1\ \mbox{oppure} \ k>2

Punto (c)

Affinché il prodotto delle soluzioni sia maggiore o uguale a 12, ossia:

x_{1}\cdot x_{2}\ge 12

bisogna avvalersi della relazione

x_{1}\cdot x_{2}=\frac{c}{a}

mediante la quale la condizione x_{1}\cdot x_{2}\ge 12 si traduce nella disequazione:

\frac{c}{a}\ge 12 \ \ \ \to \ \ \ 4(k^2-k-1)\ge 12

Espressa in forma normale, la disequazione da risolvere è:

4k^2-4k-8\ge 0

I valori che annullano il polinomio al primo membro sono:

\\ k_{1,2}=\frac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^2-4\cdot 4\cdot (-8)}}{2\cdot 4}=\frac{4\pm 12}{8}= \\ \\ \\ =\begin{cases}\frac{4-12}{8}=-1=k_1\\ \\ \frac{4+12}{8}=2=k_2\end{cases}

e, in accordo con la teoria, la disequazione di secondo grado in k è soddisfatta per i valori esterni:

k\le -1 \ \ \ \vee \ \ \ k\ge 2

In conclusione:

- le soluzioni dell'equazione

x^2-(k^2-k+5)x+4(k^2-k+1)=0

non sono mai opposte;

- la somma delle soluzioni è maggiore di 7 se e solo se

k<-1 \ \ \ \vee \ \ \ k>2

- il prodotto delle soluzioni è maggiore o uguale a 12 se e solo se

k\le -1 \ \ \ \vee \ \ \ k\ge 2

Abbiamo finito.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, LittleMar, lux, Ifrit, 21zuclo

Re: Altro esercizio sulle parametriche #15739

avt
lux
Cerchio
Grazie!
Ringraziano: Danni
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Os