Fattorizzare un polinomio per raccoglimento

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Fattorizzare un polinomio per raccoglimento #15623

avt
silvia91
Frattale
Finora non ho mai riscontrato alcuna difficoltà nel risolvere gli esercizi sulle scomposizioni di polinomi con la tecnica del raccoglimento totale. Nell'esercizio che vi propongo, mi viene chiesto di fattorizzare un polinomio, nei cui termini figura un binomio. Come dovrei comportarmi in questi casi?

Usare l'opportuna tecnica di scomposizione per fattorizzare il seguente polinomio

a^2b(a-b)+3a^3b(a-b)+4ab^2(a-b)

Grazie mille.
 
 

Fattorizzare un polinomio per raccoglimento #15652

avt
Omega
Amministratore
Per risolvere l'esercizio, analizziamo meticolosamente gli addendi del polinomio:

a^2b(a-b)+3a^3b(a-b)+4ab^2(a-b)

vale a dire:

a^2b(a-b)\ \ \ , \ \ \ 3a^3 b (a-b) \ \ \ \mbox{e} \ \ \ 4ab^2(a-b)

In ciascuno di essi figurano le lettere a\ \mbox{e} \ b e il binomio a-b, pertanto è opportuno avvalersi del metodo del raccoglimento totale.

Esso consta di due passaggi e prevede di:

- ricavare il fattore comune, formato dal prodotto dei termini che figurano in tutti gli addendi del polinomio dato, ciascuno preso con il più piccolo esponente; per quanto concerne la gestione dei coefficienti, invece, considereremo il loro massimo comun divisore. Nel caso in esame, il fattore comune è ab(a-b).

- Esprimere il polinomio iniziale come prodotto tra il fattore comune e il polinomio quoziente della divisione tra il polinomio dato e il fattore.

Dal punto di vista operativo non occorre effettuare esplicitamente le divisioni, bensì basta rifarsi alle proprietà delle potenze, e in particolare alla regola sul quoziente di due potenze con la stessa base.

\\ a^2b(a-b)+3a^3b(a-b)+4ab^2(a-b)= \\ \\ =ab(a-b)\left[a^{2-1}b^{1-1}(a-b)^{1-1}+3a^{3-1}b^{1-1}(a-b)^{1-1}+4a^{1-1}b^{2-1}(a-b)^{1-1}\right]=\\ =ab(a-b)\left[ab^{0}(a-b)^{0}+3a^{2}b^{0}(a-b)^{0}+4a^{0}b^{1}(a-b)^{0}\right]=

Tenendo a mente la convenzione secondo cui una potenza con esponente nullo e base diversa da zero è pari a uno, l'espressione diventa:

=ab(a-b)\left[a+3a^2+4b\right]

Si noti che molti dei passaggi riportati possono essere evitati, una volta acquisite la sicurezza e la maturità nello svolgere i calcoli a mente. In un'ipotetica verifica, basta riportare l'uguaglianza:

a^2b(a-b)+3a^3b(a-b)+4ab^2(a-b)=ab(a-b)\left[a+3a^2+4b\right]

Ecco fatto!
Ringraziano: Brin
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Os