Equazione di secondo grado parametrica: soluzioni e condizioni

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Equazione di secondo grado parametrica: soluzioni e condizioni #15583

avt
lux
Cerchio
Ho bisogno di una mano su un esercizio in cui mi si chiede di verificare che una data equazione di secondo grado parametrica ha due radici distinte. Inoltre vi sono altre richieste a cui non sono in grado di rispondere.

Dopo aver verificato che l'equazione

x^2-2(3k+1)x+k^2-3k-4=0

ammette radici reali e distinte, determinare i valori di k per i quali si ha

(a) \ \ x_1\cdot x_2+6=0 \\ \\ (b) \ \ x_1+x_2+2(x_1\cdot x_2)<0 \\ \\ (c)\ \ x_1^2+x_2^2 >  12

Grazie a chiunque mi aiuterà.
 
 

Equazione di secondo grado parametrica: soluzioni e condizioni #15592

avt
Omega
Amministratore
Consideriamo l'equazione parametrica di secondo grado

x^2-2(3k+1)x+k^2-3k-4=0

e rispondiamo al quesito (a), osservando che l'equazione si presenta già in forma canonica, ossia

ax^2+bx+c=0

Nel caso in esame si ha in particolare che

a=1, \ \  b=-2(3k+1), \ \ c=k^2-3k-4

Ora che abbiamo riconosciuto i coefficienti associati all'equazione, consideriamo il primo quesito. Esso ci chiede di determinare i valori di k\in\mathbb{R} tali che l'equazione ammetta due soluzioni reali e distinte. Ciò avviene se e solo se il discriminante associato risulta essere positivo. Giacché b è multiplo di 2 può tornarci utile utilizzare la formula ridotta, o in altri termini, la formula per il delta quarti.

\\ \frac{\Delta}{4}=\left(\frac{b}{2}\right)^2-ac= \\ \\ \\ =-(3k-4)-4(k^2-3k-4)=8k^2-21k+20

Dalla teoria delle equazioni di secondo grado, sappiamo che un'equazione ammette due soluzioni reali e distinte nel momento in cui il discriminante associato è maggiore di zero, in questo caso dobbiamo quindi richiedere che

\frac{\Delta}{4}>0\to 8k^2-21k+20>0

La disequazione in k è sempre soddisfatta giacché il discriminante associato

\Delta'=21^2-4\cdot 8\cdot 20

è certamente minore di 0 e il coefficiente direttore è positivo.

Da questo semplice ragionamento deduciamo che l'equazione parametrica ammette 2 soluzioni distinte

x_1\mbox{ e }x_2\mbox{ con }x_1\ne x_2

indipendentemente dal valore di k\in\mathbb{R}. Abbiamo risposto al primissimo quesito dell'esercizio, dedichiamoci a quelli successivi.

Il punto (a) ci chiede di determinare k di modo che sussista la relazione

x_1\cdot x_2+6=0

che possiamo riscrivere come

x_1\cdot x_2=-6

Dalla teoria delle equazioni parametriche sappiamo che

- la somma delle soluzioni x_1,\ x_2 è data dal rapporto -\frac{b}{a}, ossia sussiste la relazione

x_1+x_2=-\frac{b}{a}

- il prodotto delle due soluzioni coincide con il quoziente -\frac{c}{a}, o detto in altri termini

x_1\cdot x_2=-\frac{c}{a}

Ora usiamo la formula che lega il prodotto con i coefficienti dell'equazione, così da poter scrivere che

\\ x_1\cdot x_2= \frac{c}{a} \\ \\ -6=k^2-3k-4

Dobbiamo determinare gli eventuali k di modo che soddisfino l'equazione di secondo grado

k^2-3k+2=0\ \ \ \to \ \ \ k=1 \ \ \ \mbox{oppure} \ \ \ k=2

La risposta al quesito (a) è k=1\mbox{ oppure }k=2.

Nel quesito (b) ci viene richiesto di determinare i valori di k di modo che

x_1+x_2+2x_1\cdot x_2<0

In base alle relazioni scritte in precedenza, possiamo riformulare la disequazione come

-\frac{b}{a}+2\cdot\frac{c}{a}<0

Sostituendo a dovere i vari coefficienti otteniamo la seguente disequazione di secondo grado

-[-2(3k+1)]+2\cdot(k^2-3k-4)<0

che ridotta in forma normale (ossia svolgendo i calcoli) diventa

2k^2-6<0\iff k^2<3\ \ \ \iff  \ \ \ -\sqrt{3}<k<\sqrt{3}

In definitiva i valori di k che soddisfano il punto (b) appartengono all'intervallo

\left(-\sqrt{3}, \sqrt{3}\right)

Il punto (c) chiede di determinare gli eventuali k per i quali sussiste la relazione

x_1^2+x_2^2>12 \ \ \ \ \ (\bullet)

Per rispondere al quesito è necessario fare un piccolo sforzo di memoria. Teniamo a mente infatti che

x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1\cdot x_2=

che in base alle relazioni viste in precedenza diventa

\\ =\left(-\frac{b}{a}\right)^2-2\left(-\frac{c}{a}\right)= \\ \\ \\ =[-2(3k+1)]^2-2\cdot(k^2-3k-4)

La disequazione (\bullet) diventa pertanto

[-2(3k+1)]^2-2\cdot(k^2-3k-4)>12

Svolgiamo il quadrato di binomio e scriviamo in forma normale la disequazione di secondo grado in k

30k+34k^2>0\ \ \ \iff  \ \ \ 2k(17k+15)>0

da cui

k<-\frac{15}{17} \ \ \ \vee\ \ \ k>0

Ora possiamo considerare l'esercizio completo.
Ringraziano: Pi Greco, lux, CarFaby
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Os