Equazione goniometrica con coseno e angolo composto

Mi servirebbe una mano per risolvere un'equazione goniometrica con il coseno, in cui è richiesto l'uso dell'arcocoseno per esplicitare le soluzioni. Purtroppo non ho proprio capito come procedere, sebbene abbia già studiato la teoria.

Determinare le soluzioni della seguente equazione goniometrica, usando un'opportuna sostituzione per renderla elementare



Grazie.

Per calcolare le soluzioni dell'equazione goniometrica



occorre innanzitutto esprimerla in forma normale, isolando il coseno al primo membro: dal punto di vista operativo, è sufficiente dividere i due membri per , ricavando così l'equazione equivalente



A questo punto operiamo la sostituzione , cosicché l'equazione diventi



Purtroppo non è un valore noto del coseno (si veda la tabella dei valori delle funzioni goniometriche, se necessario), per cui dobbiamo ricorrere all'arcocoseno.

Nell'intervallo fondamentale , le soluzioni base associate all'equazione sono:



Le altre soluzioni si ricavano sfruttando la periodicità del coseno: poiché il periodo del coseno è , le soluzioni dell'equazione in sono:



al variare di nell'insieme dei numeri interi.

Attenzione! Non abbiamo ancora finito: dobbiamo, infatti, ripristinare l'incognita tenendo conto della sostituzione fatta.

Poiché , le relazioni



si tramutano nelle equazioni di primo grado nell'incognita



Risolviamole separatamente, partendo dalla prima:



Trasportiamo al secondo membro e sommiamolo algebricamente con



dopodiché dividiamo a destra e a sinistra per



Effettuando i medesimi passaggi algebrici sulla relazione



ricaviamo la famiglia di soluzioni



Alla luce di tutte le considerazioni, possiamo affermare che l'equazione



è soddisfatta dalle seguenti famiglie di soluzioni:



dove varia liberamente nell'insieme dei numeri interi. Abbiamo terminato.