Equazione goniometrica con coseno e angolo composto

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Equazione goniometrica con coseno e angolo composto #1556

avt
xavier310
Sfera
Mi servirebbe una mano per risolvere un'equazione goniometrica con il coseno, in cui è richiesto l'uso dell'arcocoseno per esplicitare le soluzioni. Purtroppo non ho proprio capito come procedere, sebbene abbia già studiato la teoria.

Determinare le soluzioni della seguente equazione goniometrica, usando un'opportuna sostituzione per renderla elementare

9\cos\left(3x+\frac{2}{5}\pi\right)=-8

Grazie.
 
 

Equazione goniometrica con coseno e angolo composto #2125

avt
Ifrit
Amministratore
Per calcolare le soluzioni dell'equazione goniometrica

9\cos\left(3x+\frac{2}{5}\pi\right)=-8

occorre innanzitutto esprimerla in forma normale, isolando il coseno al primo membro: dal punto di vista operativo, è sufficiente dividere i due membri per 9, ricavando così l'equazione equivalente

\cos\left(3x+\frac{2}{5}\pi\right)=-\frac{8}{9}

A questo punto operiamo la sostituzione t=3x+\frac{2}{5}\pi, cosicché l'equazione diventi

\cos(t)=-\frac{8}{9}

Purtroppo -\frac{8}{9} non è un valore noto del coseno (si veda la tabella dei valori delle funzioni goniometriche, se necessario), per cui dobbiamo ricorrere all'arcocoseno.

Nell'intervallo fondamentale 0\le t<2\pi, le soluzioni base associate all'equazione sono:

t=\pi-\arccos\left(\frac{8}{9}\right)\ \ \ , \ \ \ t=\pi+\arccos\left(\frac{8}{9}\right)

Le altre soluzioni si ricavano sfruttando la periodicità del coseno: poiché il periodo del coseno è T=2\pi, le soluzioni dell'equazione in t sono:

t=\pi-\arccos\left(\frac{8}{9}\right)+2k\pi \ \ \ , \ \ \ t=\pi+\arccos\left(\frac{8}{9}\right)

al variare di k nell'insieme dei numeri interi.

Attenzione! Non abbiamo ancora finito: dobbiamo, infatti, ripristinare l'incognita x tenendo conto della sostituzione fatta.

Poiché t=3x+\frac{2}{5}\pi, le relazioni

t=\pi-\arccos\left(\frac{8}{9}\right)+2k\pi \ \ \ , \ \ \ t=\pi+\arccos\left(\frac{8}{9}\right)+2k\pi

si tramutano nelle equazioni di primo grado nell'incognita x

3x+\frac{2}{5}\pi=\pi-\arccos\left(\frac{8}{9}\right)+2k\pi \ \ \ , \ \ \ 3x+\frac{2}{5}\pi=\pi+\arccos\left(\frac{8}{9}\right)+2k\pi

Risolviamole separatamente, partendo dalla prima:

3x+\frac{2}{5}\pi=\pi-\arccos\left(\frac{8}{9}\right)+2k\pi

Trasportiamo al secondo membro \frac{2}{5}\pi e sommiamolo algebricamente con \pi

3x=-\frac{2}{5}\pi+\pi-\arccos\left(\frac{8}{9}\right)+2k\pi \ \ \ \to \ \ \ 3x=\frac{3\pi}{5}-\arccos\left(\frac{8}{9}\right)+2k\pi

dopodiché dividiamo a destra e a sinistra per 3

x=\frac{\pi}{5}-\frac{1}{3}\arccos\left(\frac{8}{9}\right)+\frac{2k\pi}{3} \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

Effettuando i medesimi passaggi algebrici sulla relazione

3x+\frac{2}{5}\pi=\pi+\arccos\left(\frac{8}{9}\right)+2k\pi

ricaviamo la famiglia di soluzioni

x=\frac{\pi}{5}+\frac{1}{3}\arccos\left(\frac{8}{9}\right)+\frac{2k\pi}{3}

Alla luce di tutte le considerazioni, possiamo affermare che l'equazione

9\cos\left(3x+\frac{2}{5}\pi\right)=-8

è soddisfatta dalle seguenti famiglie di soluzioni:

\\ x=\frac{\pi}{5}-\frac{1}{3}\arccos\left(\frac{8}{9}\right)+\frac{2k\pi}{3} \\ \\ \mbox{e} \\ \\ x=\frac{\pi}{5}+\frac{1}{3}\arccos\left(\frac{8}{9}\right)+\frac{2k\pi}{3}

dove k varia liberamente nell'insieme dei numeri interi. Abbiamo terminato.
Ringraziano: Omega, xavier310
  • Pagina:
  • 1
Os