Equazione elementare con formule parametriche in seno e coseno

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Equazione elementare con formule parametriche in seno e coseno #15171

avt
JohnnyR
Cerchio
Ciao a tutti potreste aiutarmi ad applicare le formule parametriche per risolvere questa equazione elementare con seno e coseno?

sin(x)+5cos(x) = 3√(2)

Grazie mille!
 
 

Equazione elementare con formule parametriche in seno e coseno #15187

avt
Ifrit
Amministratore
Ok iniziamo, facendo riferimento alle formule parametriche poniamo:

t = tan((x)/(2))

Sappiamo che:

sin(x) = (2t)/(1+t^2)

mentre

cos(t) = (1-t^2)/(1+t^2)

conseguentemente:

sin(x)+5cos(x) = 3√(2)

diventa:

(2t)/(1+t^2)+5(1-t^2)/(1+t^2) = 3√(2)

da cui:

(2t+5-5t^2)/(1+t^2) = 3√(2)

moltiplichiamo membro a membro per 1+t^2, e otteniamo:

-5t^2+2t+5 = 3√(2)+3√(2)t^2

Portiamo tutto al primo membro:

-5t^2-3√(2)t^2+2t+5-3√(2) = 0

(-5-3√(2))t^2+2t+5-3√(2) = 0

Si tratta di un'equazione di secondo grado. Calcoliamo il discriminante:

Δ = 4-4(-5-3√(2))(5-3√(2)) = 32 ⇒

√(Δ) = √(32) = 4√(2)

A questo punto possiamo calcolare le soluzioni in t:

t_1 = (-2-4√(2))/(2(-5-3√(2))) = -1+√(2)

t_2 = (-2+4√(2))/(2(-5-3√(2))) = (1)/(7)(17-13√(2))

Ricordando ora che:

t = tan((x)/(2))

dobbiamo risolvere le equazioni elementari:

tan (x)/(2) = -1+√(2)

tan (x)/(2) = (1)/(7)(17-13√(2))

Da cui otteniamo:

x = 2arctan(-1+√(2))+2kπ

e

x = 2arctan((1)/(7)(17-13√(2)))+2kπ
Ringraziano: Omega, Pi Greco, JohnnyR

Equazione elementare con formule parametriche in seno e coseno #15191

avt
JohnnyR
Cerchio
il risultato è: 45°+2k180°...

Equazione elementare con formule parametriche in seno e coseno #15301

avt
Ifrit
Amministratore
Sai Johnny stavo pensando agli angoli di cui conosciamo la tangente ed effettivamente:

tan((x)/(2)) = √(2)-1

se e solo se:

(x)/(2) = (45^o)/(2)+k·180^o

A questo punto moltiplicando per 2:

x = 45^o+2k·180^o

Il problema sorge con l'altro risultato.. Non è un valore della tangente di cui l'angolo è noto emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, JohnnyR
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