Equazione elementare con formule parametriche in seno e coseno

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Equazione elementare con formule parametriche in seno e coseno #15171

avt
JohnnyR
Cerchio
Ciao a tutti potreste aiutarmi ad applicare le formule parametriche per risolvere questa equazione elementare con seno e coseno?

\sin(x) + 5\cos(x) = 3\sqrt{2}

Grazie mille!
 
 

Equazione elementare con formule parametriche in seno e coseno #15187

avt
Ifrit
Amministratore
Ok iniziamo, facendo riferimento alle formule parametriche poniamo:

t=\tan\left(\frac{x}{2}\right)

Sappiamo che:

\sin(x)=\frac{2t}{1+t^2}

mentre

\cos(t)=\frac{1-t^2}{1+t^2}

conseguentemente:

\sin(x)+5\cos(x)=3\sqrt{2}

diventa:

\frac{2t}{1+t^2}+ 5\frac{1-t^2}{1+t^2}=3\sqrt{2}

da cui:

\frac{2t+5-5t^2}{1+t^2}=3\sqrt{2}

moltiplichiamo membro a membro per 1+t^2, e otteniamo:

-5t^2+2t+5=3\sqrt{2}+3\sqrt{2}t^2

Portiamo tutto al primo membro:

-5t^2-3\sqrt{2}t^2+2t+5-3\sqrt{2}=0

(-5-3\sqrt{2})t^2+2t+5-3\sqrt{2}=0

Si tratta di un'equazione di secondo grado. Calcoliamo il discriminante:

\Delta=4-4(-5-3\sqrt{2})(5-3\sqrt{2})=32\implies

\sqrt{\Delta}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}

A questo punto possiamo calcolare le soluzioni in t:

t_1= \frac{-2-4\sqrt{2}}{2(-5-3\sqrt{2})}= -1+\sqrt{2}

t_2= \frac{-2+4\sqrt{2}}{2(-5-3\sqrt{2})}= \frac{1}{7}(17-13\sqrt{2})

Ricordando ora che:

t=\tan\left(\frac{x}{2}\right)

dobbiamo risolvere le equazioni elementari:

\tan \frac{x}{2}= -1+\sqrt{2}

\tan \frac{x}{2}= \frac{1}{7}(17-13\sqrt{2})

Da cui otteniamo:

x=2\arctan(-1+\sqrt{2})+2k\pi

e

x= 2\arctan\left(\frac{1}{7}(17-13\sqrt{2})\right)+2k\pi
Ringraziano: Omega, Pi Greco, JohnnyR

Equazione elementare con formule parametriche in seno e coseno #15191

avt
JohnnyR
Cerchio
il risultato è: 45°+2k180°...

Equazione elementare con formule parametriche in seno e coseno #15301

avt
Ifrit
Amministratore
Sai Johnny stavo pensando agli angoli di cui conosciamo la tangente ed effettivamente:

\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\sqrt{2}-1

se e solo se:

\frac{x}{2}= \frac{45^o}{2}+k\cdot 180^o

A questo punto moltiplicando per 2:

x= 45^o+2k\cdot 180^o

Il problema sorge con l'altro risultato.. Non è un valore della tangente di cui l'angolo è noto emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, JohnnyR
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Os