Equazioni con parametro #15088

avt
lux
Cerchio
Ho bisogno di una mano per risolvere due esercizi sulle equazioni parametriche di secondo grado: il primo esercizio mi chiede di determinare i valori di k in modo tale che l'equazione ammetta due soluzioni reali. Nel secondo, mi viene chiesto di calcolare i valori di k per i quali l'equazione ha due soluzioni reali e distinte.

Esercizio 1

Determinare per quali valori del parametro k la seguente equazione ha soluzioni reali

4x(x-k)=3-4k^2


Esercizio 2

Determinare k in modo che l'equazione parametrica di secondo grado

(k+1)x^2-3kx-k=0

ammetta due soluzioni reali e distinte.

Grazie in anticipo.
 
 

Equazioni con parametro #15092

avt
Omega
Amministratore
Esercizio 1

L'esercizio ci chiede essenzialmente di calcolare il discriminante (delta) delle due equazioni e di studiarne il segno, il che nella pratica vuol dire risolvere una disequazione.

Il discriminante dipenderà infatti dal parametro k.

La teoria cui fare riferimento la trovi qui: equazioni di secondo grado.

In generale un'equazione di secondo grado

ax^2+bx+c=0\ \ \ (\bullet)

ha discriminante dato da

\Delta=b^2-4ac

e ha un numero di soluzioni (nessuna, una, due) che dipende dal segno del discriminante:

\\ \Delta>0\mbox{ }\to\mbox{ }2\mbox{ soluzioni distinte}\\ \\ \Delta=0\mbox{ }\to\mbox{ }2\mbox{ soluzioni coincidenti (1 soluzione)}\\ \\ \Delta<0\mbox{ }\to\mbox{ }\mbox{nessuna soluzione}

Consideriamo l'equazione parametrica di secondo grado

4x(x-k)=3-4k^2

e svolgiamo i calcoli così da esprimerla nella forma normale

\\ 4x^2-4kx=3-4k^2\\ \\ 4x^2-4kx+4k^2-3=0

dove rispetto a (\bullet) abbiamo

a=4\ \ \ ,\ \ \ b=-4k \ \ \ ,\ \ \ c=4k^2-3

A questo punto, calcoliamo il discriminante con la formula

\\ \Delta=b^2-4ac=(-4k)^2-4\cdot 4\cdot (4k^2-3)= \\ \\ =16k^2-64k^2+48=-48k^2+48

Affinché l'equazione abbia due soluzioni reali (non necessariamente distinte), occorre richiedere che il Delta sia non negativo, vale a dire:

\Delta\geq 0 \ \ \ \to \ \ \ -48k^2+48\geq 0

La disequazione di secondo grado in k è in realtà pura (manca il termine di primo grado) e può essere risolta isolando il termine quadratico al primo membro:

-48k^2\ge -48 \ \ \ \to \ \ \ 48k^2\le 48

Dividendo i due membri per 48, ricaviamo che la disequazione è soddisfatta per -1\le k\le 1, infatti:

k^2\le 1 \ \ \ \to \ \ \ -1\le k\le 1

Possiamo affermare che l'equazione parametrica di secondo grado ammette soluzioni reali se e solo se k sottostà al vincolo

-1\le k\le 1

Ecco fatto!


Esercizio 2

Consideriamo l'equazione parametrica di secondo grado

(k+1)x^2-3kx-k=0

Per fare in modo che essa ammetta due soluzioni reali e distinte, dobbiamo richiedere che:

- il coefficiente di x^2 sia diverso da zero, così da garantire che l'equazione mantenga il grado 2;

- il discriminante associato all'equazione sia maggiore di zero.

Indichiamo con a, \ b\ \mbox{e} \ c il coefficiente di x^2, quello di x e il termine noto:

a=k+1 \ \ \ , \ \ \ b=-3k \ \ \ ,\ \ \ c=-k

e calcoliamo il discriminante con la formula:

\\ \Delta=b^2-4ac=(-3k)^2-4(k+1)(-k)=9k^2+4k^2+4k=\\ \\ =13k^2+4k

Vogliamo che l'equazione abbia due soluzioni distinte, quindi richiediamo che

a\ne 0 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ \Delta>0

ossia

k+1\ne 0 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ 13k^2+4k>0

La prima condizione fornisce il vincolo k\ne -1.

La seconda è una disequazione di secondo grado soddisfatta per k<-\frac{4}{13} \ \vee \ k>0.

Possiamo concludere quindi che l'equazione parametrica ha due soluzioni distinte se e solo se

k<-\frac{4}{13}\ \ \vee \ \ k>0 \ \ \ \mbox{con} \ k\ne -1

Abbiamo finito.
Ringraziano: Pi Greco, lux, Ifrit

Equazioni con parametro #15102

avt
lux
Cerchio
Grazie mille Omega, gentilissimo!
Ringraziano: Omega
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Os