Equazione di secondo grado dipendente da un parametro

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Equazione di secondo grado dipendente da un parametro #14777

avt
lux
Cerchio
Ho bisogno di una mano per risolvere due equazioni parametriche di secondo grado: bisogna determinare i valori dei parametri in modo che vengano soddisfatte alcune condizioni.

Esercizio 1

Data l'equazione parametrica di secondo grado

(2-k)x^2-2(2k-3)x+6-5k=0

determinare i valori di k di modo che l'equazione ammetta soluzioni reali.


Esercizio 2

Stabilire per quali valori di k l'equazione

x^2-2(k-1)x+k+5=0

non ha soluzioni in \mathbb{R}.

Grazie mille.
 
 

Equazione di secondo grado dipendente da un parametro #14779

avt
frank094
Maestro
Esercizio 1

Consideriamo l'equazione parametrica di secondo grado

(2-k)x^2-2(2k-3)x+6-5k=0

Il nostro compito prevede di determinare i valori da attribuire a k per i quali l'equazione ammette due soluzioni reali (non necessariamente distinte).

Per risolvere il problema, è sufficiente richiedere che:

- il coefficiente di x^2 sia diverso da zero (serve a garantire che la relazione non degeneri in un'equazione di primo grado);

- il discriminante associato all'equazione sia maggiore o al più uguale a zero: questa condizione serve a garantire la realtà delle soluzioni.

Dopo la breve parentesi teorica, possiamo risolvere il problema.

Indichiamo con a, \ b \ \mbox{e} \ c rispettivamente il coefficiente di x^2, quello di x e il termine noto

a=2-k \ \ \ , \ \ \ b=-2(2k-3) \ \ \ ,\ \ \ c=6-5k

e calcoliamo il discriminante con la formula

\Delta=b^2-4ac= [-2(2k-3)]^2-4(2-k)(6-5k)=

Sviluppiamo il quadrato di binomio e svolgiamo i calcoli

=-4k^2+16k-12

A questo punto imponiamo le condizioni:

a\ne 0 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ \Delta\ge 0

la prima delle quali si traduce in

a\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ 2-k\ne 0 \ \ \ k\ne 2

mentre la seconda diventa una disequazione di secondo grado nell'incognita k

\Delta\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ -4k^2+16k-12\ge 0

Cambiamo segni e il verso della disequazione e dividiamo a destra e a sinistra per 4, così da ricavare la disequazione equivalente:

k^2-4k+3\le 0

Determiniamo le soluzioni dell'equazione associata con la solita formula

\\ k_{1,2}=\frac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^2-4\cdot 1\cdot 3}}{2}=\frac{4\pm \sqrt{4}}{2}=\frac{4\pm 2}{2}=\\ \\ \\ =\begin{cases}\frac{4-2}{2}=1=k_1 \\ \\ \frac{4+2}{2}=3=k_2\end{cases}

e sfruttiamole per scrivere l'insieme delle soluzioni dell'equazione di secondo grado in k

k^2-4k+3\le 0

soddisfatta per valori interni

1\le k\le 3

Chiaramente da questi valori dobbiamo escludere k=2.

Possiamo affermare che l'equazione di secondo grado

(2-k)x^2-2(2k-3)x+6-5k=0

ammette due soluzioni reali se e solo se 1\le k\le 3 \ \mbox{e} \ k\ne 2.

Nota: la disequazione k^2-4k+3\le 0 può essere risolta scomponendo il polinomio k^2-4k+3 con la regola di fattorizzazione dei trinomi notevoli

k^2-4k+3=(k-1)(k-3)

dopodiché esaminiamo il segno di ciascun fattore

\\ (k-1)\ge 0\ \ \ \to \ \ \ k\ge 1\\ \\ (k-3)\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ k\ge 3

e infine determiniamo i valori di k che rendono negativo il prodotto (k-1)(k-3) avvalendoci della tabella dei segni.

Anche questa strategia conduce alla soluzione

1\le k\le 3 \ \ \ \mbox{con} \ \ \ k\ne 2

È fatta!


Esercizio 2

Per ricavare i valori di k per cui l'equazione

x^2-2(k-1)x+k+5=0

non abbia soluzioni reali, bisogna richiedere che il discriminante associato sia negativo.

Indichiamo con a, \ b\ \mbox{e}\ c rispettivamente il coefficiente di x^2, quello di x e il termine noto:

a=1 \ \ \ , \ \ \ b=-2(k-1) \ \ \ ,\ \ \ c=k+5

dopodiché calcoliamo l'espressione del delta, al variare di k

\\ \Delta=b^2-4ac=[-2(k-1)]^2-4\cdot 1 \cdot (k+5)=\\ \\ = 4k^2-12k-16

Una volta ottenuto il Delta, imponiamo che sia negativo e risolviamo la disequazione di secondo grado in k

\Delta<0 \ \ \ \to \ \ \ 4k^2-12k-16< 0

Dividiamo i due membri della disequazione per 4 così da ricavare la seguente:

k^2-3k-4<0

Le soluzioni dell'equazione associata sono:

\\ k_{1,2}=\frac{-(-3)\pm\sqrt{(-3)^2-4\cdot 1\cdot (-4)}}{2\cdot 1}=\frac{3\pm\sqrt{25}}{2}=\\ \\ \\ =\frac{3\pm5}{2}=\begin{cases}\frac{3-5}{2}=-1=k_1\\ \\ \frac{8}{2}=4=k_2\end{cases}

In accordo con la teoria delle disequazioni di secondo grado

k^2-3k-4<0

è soddisfatta per valori interni, vale a dire:

-1<k<4

Finalmente, siamo autorizzati a concludere che

x^2-2(k-1)x+k+5=0

non ammette soluzioni reali se e solo se

-1<k<4

Abbiamo terminato.

Nota: la disequazione k^2-3k-4<0 può essere risolta scomponendo il polinomio k^2-3k-4 con la tecnica di fattorizzazione per i trinomi notevoli

k^2-3k-4=(k+1)(k-4)

esaminando il segno di ciascun fattore

\\ k+1>0 \ \ \ \to \ \ \ k>-1 \\ \\ k-4>0 \ \ \ \to \ \ \ k>4

e deducendo il segno del prodotto (k+1)(k-4) dalla tabella dei segni. Questo approccio conduce alla soluzione:

-1<k<4

che è chiaramente identica a quella ottenuta con il metodo precedente.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, lux, Ifrit
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Os