Equazione di secondo grado dipendente da un parametro
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Equazione di secondo grado dipendente da un parametro #14777
![]() lux Cerchio | Ho bisogno di una mano per risolvere due equazioni parametriche di secondo grado: bisogna determinare i valori dei parametri in modo che vengano soddisfatte alcune condizioni. Esercizio 1 Data l'equazione parametrica di secondo grado ![]() determinare i valori di Esercizio 2 Stabilire per quali valori di ![]() non ha soluzioni in Grazie mille. |
Equazione di secondo grado dipendente da un parametro #14779
![]() frank094 Maestro | Esercizio 1 Consideriamo l'equazione parametrica di secondo grado ![]() Il nostro compito prevede di determinare i valori da attribuire a Per risolvere il problema, è sufficiente richiedere che: - il coefficiente di - il discriminante associato all'equazione sia maggiore o al più uguale a zero: questa condizione serve a garantire la realtà delle soluzioni. Dopo la breve parentesi teorica, possiamo risolvere il problema. Indichiamo con ![]() e calcoliamo il discriminante con la formula ![]() Sviluppiamo il quadrato di binomio e svolgiamo i calcoli A questo punto imponiamo le condizioni: la prima delle quali si traduce in ![]() mentre la seconda diventa una disequazione di secondo grado nell'incognita ![]() Cambiamo segni e il verso della disequazione e dividiamo a destra e a sinistra per 4, così da ricavare la disequazione equivalente: ![]() Determiniamo le soluzioni dell'equazione associata con la solita formula ![]() e sfruttiamole per scrivere l'insieme delle soluzioni dell'equazione di secondo grado in ![]() soddisfatta per valori interni Chiaramente da questi valori dobbiamo escludere Possiamo affermare che l'equazione di secondo grado ![]() ammette due soluzioni reali se e solo se Nota: la disequazione ![]() ![]() dopodiché esaminiamo il segno di ciascun fattore ![]() e infine determiniamo i valori di Anche questa strategia conduce alla soluzione È fatta! Esercizio 2 Per ricavare i valori di ![]() non abbia soluzioni reali, bisogna richiedere che il discriminante associato sia negativo. Indichiamo con ![]() dopodiché calcoliamo l'espressione del delta, al variare di ![]() Una volta ottenuto il Delta, imponiamo che sia negativo e risolviamo la disequazione di secondo grado in ![]() Dividiamo i due membri della disequazione per 4 così da ricavare la seguente: Le soluzioni dell'equazione associata sono: ![]() In accordo con la teoria delle disequazioni di secondo grado è soddisfatta per valori interni, vale a dire: Finalmente, siamo autorizzati a concludere che ![]() non ammette soluzioni reali se e solo se Abbiamo terminato. Nota: la disequazione ![]() esaminando il segno di ciascun fattore ![]() e deducendo il segno del prodotto che è chiaramente identica a quella ottenuta con il metodo precedente. |
Ringraziano: Omega, Pi Greco, lux, Ifrit |
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