2 equazioni fratte... #14621

avt
revolution93
Cerchio
salve a tutti...mi aiutate a svolgere quest'altri 2 esercizi?
-Fare minimo comune multiplo
-Svolgere l'equazione

1) 3x/(x-3) = 5/(x-5)

2) 2x/(2x-10) = 3x/(x-5)
 
 

Re: 2 equazioni fratte... #14627

avt
frank094
Maestro
Ciao Revolution93,

\frac{3x}{x - 3} = \frac{5}{x - 5}

Prima di passare al minimo comune multiplo, bisogna trovare le condizioni di esistenza, ovvero dobbiamo escludere dalle possibili soluzioni quelle che renderebbero i vari denominatori nulli; in particolare si ha

\text{C.E.} : x - 3 \neq 0, x - 5 \neq 0 \implies x \neq \left\{ \begin{array}{l  l} 3 \\ 5 \end{array} \right.

Sappiamo dunque che la x non può assumere questi due valori.. passiamo dunque al minimo comune multiplo.

\frac{3x(x - 5)}{(x - 3)(x - 5)} = \frac{5(x - 3)}{(x - 3)(x - 5)}

Possiamo eliminare i denominatori avendo già supposto che non possono essere nulli; si arriva dunque a

3x^2 - 15x = 5x - 15

3x^2 - 20x + 15 = 0

Si tratta di una semplice equazione di secondo grado; andiamo a trovarne il delta

\Delta = 20^2 - 12 \cdot 15 = 220

Le soluzioni risultano essere

x_{1, \, 2} = \frac{20 \pm 2 \sqrt{55}}{6}

Ed ecco fatto! Passiamo alla seconda.

\frac{2x}{2x - 10} = \frac{3x}{x - 5}

Prima di passare a trovare le condizioni di esistenza, raccogliamo un 2 a denominatore per semplificarlo con quello a numeratore

\frac{x}{x - 5} = \frac{3x}{x - 5}

Adesso, discutere i valori che annullano il denominatore è privo di utilità perché l'equazione è risolvibile con un semplice artificio algebrico.. ma, per non perdere la buona abitudine, troviamole lo stesso.

\text{C.E.} : x - 5 \neq 0 \implies x \neq 5

A questo punto portiamo il membro di sinistra a destra e otteniamo

\frac{2x}{x - 5} = 0

Il primo membro si annulla, ovviamente, solo quando il numeratore è nullo e questo accade solo se x = 0 che è, difatti, l'unica soluzione dell'equazione.

E' tutto chiaro emt ?
Ringraziano: Omega

Re: 2 equazioni fratte... #14631

avt
revolution93
Cerchio
non capisco nel 1 eserc il denominatore perchè si toglie

Re: 2 equazioni fratte... #14633

avt
frank094
Maestro
Semplicemente, una volta supposto che non può essere nullo possiamo moltiplicare a destra e sinistra per il denominatore senza che il risultato cambi.

\frac{3x(x - 5)}{(x - 3)(x - 5)} = \frac{5(x - 3)}{(x - 3)(x - 5)}

Moltiplichiamo per ottenere

[(x - 3)(x - 5)] \cdot \frac{3x(x - 5)}{(x - 3)(x - 5)} = \frac{5(x - 3)}{(x - 3)(x - 5)} \cdot [(x - 3)(x - 5)]

Semplifichiamo per ottenere

3x(x - 5) = 5(x - 3)

E di qui si va avanti come ho mostrato nel post precedente.
Ringraziano: Pi Greco, revolution93
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Os