Equazione esponenziale con esponenziali in basi diverse

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Equazione esponenziale con esponenziali in basi diverse #14618

avt
Chiara_
Punto
Ciao qualcuno può aiutarmi con questa equazione esponenziale, in cui compaiono esponenziali con basi 2 e 3.

2^{2x+4}\cdot 3^x=\frac{2}{3^{x+3}}

Il libro suggerisce, inoltre, di ridurre a forma intera

6^{2x+3}=...

Grazie in anticipo! emt
 
 

Equazione esponenziale con esponenziali in basi diverse #14629

avt
Omega
Amministratore
Lo immaginavo emt (in caso contrario non sarebbe stato un esercizio da < quinta liceo)

Per risolvere l'equazione esponenziale

2^{2x+4}\cdot 3^x=\frac{2}{3^{x+3}}

riscrivi il tutto sfruttando le proprietà delle potenze

16\cdot 2^{2x}\cdot 3^x=\frac{2}{27\cdot 3^{x}}

Moltiplichiamo entrambi i membri per 3^{x}

16\cdot 2^{2x}\cdot 3^x\cdot 3^{x}=\frac{2}{27}

e dividiamo entrambi i membri per 16: l'idea è naturalmente quella di separare tutti i termini esponenziali contenenti l'incognita da tutti i termini privi di incognita

2^{2x}\cdot 3^x\cdot 3^{x}=\frac{2}{3^3\cdot 2^4}

per le proprietà delle potenze

2^{2x}\cdot 3^{2x}=\frac{1}{3^3\cdot 2^3}

6^{2x}=\frac{1}{6^{3}}

6^{2x}=6^{-3}

Ora possiamo confrontare solamente gli esponenti

2x=-3

da cui x=-\frac{3}{2}.

Se dovessi avere dubbi, non esitare a chiedere emt
Ringraziano: LittleMar, frank094, Chiara_

Equazione esponenziale con esponenziali in basi diverse #14630

avt
4N7H0NY
Punto
Credo sia la seconda. Se così fosse la risoluzione è questa:

2^{2x+4}\ctod 3^{x}=\frac{2}{3^{x+3}}

scomponendo i fattori abbiamo

2^{2x}\ctod 2^{4}\ctod 3^{x}=\frac{2}{3^{x}\ctod 3^{3}}


facciamo il minimo comune multiplo ottenendo così

2^{2x}\ctod 2^{4}\ctod 3^{x} \ctod 3^{x}\ctod 3^{3} = 2


ovvero


2^{2x}\ctod 2^{3}\ctod 3^{x} \ctod 3^{x}\ctod 3^{3} = 1


moltiplicando i termini simili risulta che

2^{2x}\ctod 3^{2x} \ctod 216 = 1


Dunque

6^{2x} =\frac{1}{216}

ovvero

36^{x} =\frac{1}{216}


e passando al logaritmo e portando fuori la x, grazie ad una delle proprietà dei logaritmi, si ottiene

x\ctod \ln{36} = \ln{\frac{1}{216}}


e la soluzione è il rapporto tra i logaritmi ovvero

x=-\frac{3}{2}


P.S. è la prima volta che scrivo in latex e ho imparato da solo. Spero di non aver sbagliato a scrivere qualcosa xDxD
Ringraziano: Omega, Pi Greco, LittleMar, frank094, Chiara_, curiosissimo

Equazione esponenziale con esponenziali in basi diverse #14632

avt
Chiara_
Punto
Grazie mille emt

Equazione esponenziale con esponenziali in basi diverse #14634

avt
Omega
Amministratore
Ciao 4N7H0NY! emt hai usato il LaTeX in maniera impeccabile emt

Già che sono qui ne approfitto per darti il benvenuto in YouMath emt
Ringraziano: Pi Greco, LittleMar

Equazione esponenziale con esponenziali in basi diverse #14635

avt
4N7H0NY
Punto
Ti ringrazio Omega! emt
Ringraziano: Omega, curiosissimo
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Os