Equazione esponenziale con esponenziali in basi diverse

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Equazione esponenziale con esponenziali in basi diverse #14618

avt
Chiara_
Punto
Ciao qualcuno può aiutarmi con questa equazione esponenziale, in cui compaiono esponenziali con basi 2 e 3.

2^(2x+4)·3^x = (2)/(3^(x+3))

Il libro suggerisce, inoltre, di ridurre a forma intera

6^(2x+3) = ...

Grazie in anticipo! emt
 
 

Equazione esponenziale con esponenziali in basi diverse #14629

avt
Omega
Amministratore
Lo immaginavo emt (in caso contrario non sarebbe stato un esercizio da < quinta liceo)

Per risolvere l'equazione esponenziale

2^(2x+4)·3^x = (2)/(3^(x+3))

riscrivi il tutto sfruttando le proprietà delle potenze

16·2^(2x)·3^x = (2)/(27·3^(x))

Moltiplichiamo entrambi i membri per 3^(x)

16·2^(2x)·3^x·3^(x) = (2)/(27)

e dividiamo entrambi i membri per 16: l'idea è naturalmente quella di separare tutti i termini esponenziali contenenti l'incognita da tutti i termini privi di incognita

2^(2x)·3^x·3^(x) = (2)/(3^3·2^4)

per le proprietà delle potenze

2^(2x)·3^(2x) = (1)/(3^3·2^3)

6^(2x) = (1)/(6^(3))

6^(2x) = 6^(-3)

Ora possiamo confrontare solamente gli esponenti

2x = -3

da cui x = -(3)/(2).

Se dovessi avere dubbi, non esitare a chiedere emt
Ringraziano: LittleMar, frank094, Chiara_

Equazione esponenziale con esponenziali in basi diverse #14630

avt
4N7H0NY
Punto
Credo sia la seconda. Se così fosse la risoluzione è questa:

2^(2x+4) ctod 3^(x) = (2)/(3^(x+3))

scomponendo i fattori abbiamo

2^(2x) ctod 2^(4) ctod 3^(x) = (2)/(3^(x) ctod 3^(3))


facciamo il minimo comune multiplo ottenendo così

2^(2x) ctod 2^(4) ctod 3^(x) ctod 3^(x) ctod 3^(3) = 2


ovvero


2^(2x) ctod 2^(3) ctod 3^(x) ctod 3^(x) ctod 3^(3) = 1


moltiplicando i termini simili risulta che

2^(2x) ctod 3^(2x) ctod 216 = 1


Dunque

6^(2x) = (1)/(216)

ovvero

36^(x) = (1)/(216)


e passando al logaritmo e portando fuori la x, grazie ad una delle proprietà dei logaritmi, si ottiene

x ctod ln(36) = ln((1)/(216))


e la soluzione è il rapporto tra i logaritmi ovvero

x = -(3)/(2)


P.S. è la prima volta che scrivo in latex e ho imparato da solo. Spero di non aver sbagliato a scrivere qualcosa xDxD
Ringraziano: Omega, Pi Greco, LittleMar, frank094, Chiara_, curiosissimo

Equazione esponenziale con esponenziali in basi diverse #14632

avt
Chiara_
Punto
Grazie mille emt

Equazione esponenziale con esponenziali in basi diverse #14634

avt
Omega
Amministratore
Ciao 4N7H0NY! emt hai usato il LaTeX in maniera impeccabile emt

Già che sono qui ne approfitto per darti il benvenuto in YouMath emt
Ringraziano: Pi Greco, LittleMar

Equazione esponenziale con esponenziali in basi diverse #14635

avt
4N7H0NY
Punto
Ti ringrazio Omega! emt
Ringraziano: Omega, curiosissimo
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Os