Risoluzione di due equazioni fratte #14546

avt
revolution93
Punto
Salve a tutti, mi aiutate a svolgere un paio di esercizi? devo risolvere due equazioni fratte, che però non ho la minima idea di come fare.

Risolvere le seguenti equazioni fratte di primo grado esplicitando il loro insieme soluzione

\\ (a) \ \ \ \frac{5x}{x^2-1}+\frac{3}{x-1}=0 \\ \\ \\ (b) \ \ \ \frac{4x}{(x^2+4-4x)}+\frac{3}{x-2}=\frac{5}{x-2}

Grazie mille.
 
 

Risoluzione di due equazioni fratte #14551

avt
Ifrit
Amministratore
A discapito delle apparenze, ci troviamo di fronte a due equazioni fratte di primo grado. Iniziamo dalla prima.

Esercizio (a)

Consideriamo l'equazione di primo grado fratta

\frac{5x}{x^2-1}+\frac{3}{x-1}=0

La prima cosa da fare è scomporre i denominatori, e i prodotti notevoli possono essere di grande aiuto:

x^2-1=(x+1)(x-1)

è una differenza di quadrati e può essere scomposta come il prodotto tra una somma e una differenza.

x-1 è irriducibile perché è un polinomio di grado 1.

L'equazione diventa quindi

\frac{5x}{(x-1)(x+1)}+\frac{3}{x-1}=0

Il minimo comune multiplo tra i due polinomi è dato dal prodotto dei fattori comuni e non comuni presi una sola volta col più grande esponente, pertanto:

mcm=(x-1)(x+1)

A questo punto determiniamo l'insieme di esistenza delle soluzioni richiedendo che i denominatori contenenti l'incognita siano diversi da zero.

La non nullità del secondo denominatore conduce alla disuguaglianza

x-1\ne 0\ \ \to \ \ x\ne 1

mentre quella del primo denominatore richiede qualche osservazione in più

(x-1)(x+1)\ne 0

interviene infatti la legge di annullamento del prodotto la quale garantisce che il prodotto al primo membro è non nullo se e solo se sono non nulli entrambi i fattori che lo compongono, vale a dire:

\\ x-1\ne 0 \ \ \to \ \ x\ne 1 \\ \\ x+1\ne 0 \ \ \to \ \ x\ne -1

pertanto il C.E. associato all'equazione è:

C.E.: \ x\ne -1 \ \wedge \ x\ne 1

dove \wedge indica il connettivo logico associato alla congiunzione.

A questo punto riscriviamo l'equazione a denominatore comune

\frac{5x+3(x+1)}{(x-1)(x+1)}=0

e moltiplichiamo i due membri per (x-1)(x+1) ottenendo così l'equazione equivalente

5x+3(x+1)=0

Eseguiamo il prodotto tra 3 e il binomio x+1, in questo modo possiamo sbarazzarci delle parentesi tonde

5x+3x+3=0

Sommiamo i termini simili

8x+3=0

che è un'equazione di primo grado. Risolviamola trasportando il termine noto al secondo membro e dividendo in seguito i due membri per il coefficiente di x

\\ 8x=-3 \\ \\ x=-\frac{3}{8}

La soluzione ottenuta è accettabile perché rispetta le condizioni di esistenza. Siamo in grado di trarre le conclusioni: l'equazione è determinata e il suo insieme soluzione è S=\left\{-\frac{3}{8}\right\}.


Esercizio (b)


Consideriamo l'equazione fratta di primo grado

\frac{4x}{(x^2+4-4x)}+\frac{3}{x-2}=\frac{5}{x-2}

Scomponiamo i polinomi presenti al denominatore:

x^2-4x+4=(x-2)^2

è il quadrato di un binomio, mentre il polinomio

x-2

è di primo grado quindi irriducibile. Possiamo riscrivere l'equazione come

\frac{4x}{(x-2)^2}+\frac{3}{x-2}=\frac{5}{x-2}

Imponiamo ora le condizioni di esistenza, pretendendo che i denominatori contenenti l'incognita siano non nulli:

x-2\ne 0\ \ \to \ \ x\ne 2

Per quanto concerne il primo denominatore, dobbiamo considerare la disuguaglianza

(x-2)^2\ne 0

che possiamo risolvere ricordando che una potenza è zero se e solo se la sua base è zero:

x-2\ne 0\ \ \to \ \ x\ne 2

Il C.E. è pertanto:

C.E.: \ x\ne 2

Sotto il vincolo dettato dal C.E. continuiamo la risoluzione dell'equazione: trasportiamo tutti i termini al primo

\frac{4x}{(x-2)^2}+\frac{3}{x-2}-\frac{5}{x-2}=0

e sommiamo le frazioni algebriche così da ottenere la forma normale dell'equazione fratta. Abbiamo bisogno del minimo comune multiplo tra i polinomi a denominatore che è (x-2)^2

\frac{4x+3(x-2)-5(x-2)}{(x-2)^2}=0

Cancelliamo il denominatore che ormai ha svolto la sua funzione e consideriamo l'equazione equivalente:

4x+3(x-2)-5(x-2)=0

Eseguiamo i calcoli avvalendoci della regola dei segni

4x+3x-6-5x+10=0

Portiamo i termini con l'incognita al primo membro, stando attenti ai segni:

4x+3x-5x=6-10

Sommiamo i termini simili

2x=-4

e risolviamo l'equazione di primo grado ottenuta dividendo a destra e a sinistra dell'uguale per il coefficiente di x

x=-\frac{4}{2}

Una volta ridotta ai minimi termini la frazione ricaviamo

x=-2

La soluzione è accettabile perché rispetta il C.E., concludiamo dunque che l'equazione è determinata e il suo insieme soluzione è S=\{-2\}.

Abbiamo finito.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, revolution93

Risoluzione di due equazioni fratte #14620

avt
revolution93
Punto
Mille mille grazie!
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Os