Polinomio con somma di cubi e differenza di cubi

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Polinomio con somma di cubi e differenza di cubi #14471

avt
Carola27
Banned
Devo risolvere la seguente espressione utilizzando i prodotti notevoli, in particolare devo utilizzare la regola relativa alla scomposizione di una somma e di una differenza di cubi.

Semplificare la seguente espressione algebrica utilizzando la regola di scomposizione sulla somma e sulla differenza di cubi

(x+y)^3-(x-y)^3+(x-1)^3+(x+1)^3
 
 

Polinomio con somma di cubi e differenza di cubi #14495

avt
Ifrit
Ambasciatore
L'esercizio chiede di svolgere l'espressione

(x+y)^3-(x-y)^3+(x-1)^3+(x+1)^3

avvalendoci delle regole di scomposizione relative alla somma di cubi e alla differenza di cubi

\\ A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2) \\ \\ \mbox{e} \\ \\ A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)

dove A\ \mbox{e} \ B indicano le basi delle potenze terze.

Nel caso in esame, osserviamo che

(x+y)^3-(x-y)^3

è a conti fatti una differenza di cubi le cui basi sono rispettivamente x+y \ \mbox{e} \ x-y e, in accordo con la regola di scomposizione omonima, ricaviamo

(x+y)^3-(x-y)^3=(x+y-(x-y))\left((x+y)^2+(x+y)(x-y)+(x-y)^2\right)=

Sviluppiamo i quadrati dei binomi e il prodotto tra la somma e la differenza

=(x+y-x+y)(x^2+2xy+y^2+x^2-y^2+x^2+y^2-2x y)=

e infine sommiamo tra loro i termini simili

=2y(y^2+3x^2)=2y^3+6x^2y

Per quanto concerne l'espressione

(x-1)^3+(x+1)^3

essa è una somma di cubi le cui basi sono

A=x-1 \ \ \ \mbox{e}\ \ \ B=x+1

Grazie alla regola di scomposizione omonima, ricaviamo

(x-1)^3+(x+1)^3=(x-1+(x+1))\left((x-1)^2+(x-1)(x+1)+(x+1)^2\right)=

Ancora una volta sviluppiamo i quadrati dei binomi ed eseguiamo il prodotto tra la somma e differenza

\\ =(x-1+x+1)\left(x^2-2x+1+x^2-1+x^2+2x+1\right)= \\ \\ =2x(x^2+3)=2x^3+6x

A questo punto non ci resta che sostituire i vari pezzi nell'espressione di partenza e scrivere il risultato

(x+y)^3-(x-y)^3+(x-1)^3+(x+1)^3=2y^3+6x^2y+2x^3+6x

Ecco fatto!
Ringraziano: Omega, Pi Greco
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Os