Equazione parametrica fratta con due parametri

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Equazione parametrica fratta con due parametri #14101

avt
21zuclo
Frattale
Mentre facevo i compiti a casa mi è capitato un esercizio sulle equazioni letterali fratte di primo grado che non riesco a risolvere.

Data l'equazione parametrica fratta di primo grado

\frac{bx}{x^2-a^2}-\frac{b}{x-a}=0

Fissati i valori a=0\ \mbox{e} \ b=1, esplicitare l'equazione numerica e se possibile risolverla. Cosa succede se i parametri assumessero i valori a=1 \ \mbox{e} \ b=1\ ?
 
 

Equazione parametrica fratta con due parametri #14112

avt
Omega
Amministratore
Oltre all'equazione parametrica fratta di primo grado

\frac{bx}{x^2-a^2}-\frac{b}{x-a}=0

il testo propone i valori da attribuire ai due parametri, grazie ai quali ci riconduciamo a un'equazione fratta di primo grado.

Per a=0\ \mbox{e} \ b=1 l'equazione diventa

\frac{1\cdot x}{x^2-0^2}-\frac{1}{x-0}=0

vale a dire

\frac{x}{x^2}-\frac{1}{x}=0

Esplicitiamo le condizioni di esistenza, richiedendo che tutti i denominatori che contengono l'incognita siano non nulli

CE: x^2\ne 0 \ \ \ \wedge \ \ \ x\ne 0

dove \wedge è il simbolo che indica il connettivo logico "e". Entrambe le condizioni conducono al vincolo x\ne 0.

Dopo aver determinato le condizioni di esistenza, possiamo semplificare x al numeratore della prima frazione con x^2

\frac{1}{x}-\frac{1}{x}=0

Sommati i termini opposti, inoltre, ricaviamo l'identità

0=0

soddisfatta a patto che x sottostia al vincolo x\ne 0.

Per i valori di a=1\ \mbox{e} \ b=1 l'equazione parametrica si tramuta nell'equazione fratta

\frac{1\cdot x}{x^2-1^2}-\frac{1}{x-1}=0

ossia

\frac{x}{x^2-1}-\frac{1}{x-1}=0

Procediamo con la scomposizione del primo denominatore, x^2-1, il quale si scompone come prodotto tra una somma e una differenza dei monomi x\ \mbox{e} \ 1:

\frac{x}{(x-1)(x+1)}-\frac{1}{x-1}=0

Sommiamo le frazioni algebriche al primo membro, calcolando il minimo comune multiplo tra i polinomi ai denominatori ed eseguendo in seguito le operazioni che ne scaturiscono al numeratore:

\\ \frac{x-1\cdot(x+1)}{(x-1)(x+1)}=0 \\ \\ \\ \frac{x-x-1}{(x-1)(x+1)}=0 \\ \\ \\ \frac{-1}{(x-1)(x+1)}=0

In virtù del secondo principio di equivalenza, possiamo cancellare il denominatore ricavando così un'equazione priva di incognite

-1=0

che non è mai verificata, pertanto l'equazione è impossibile.

Abbiamo terminato lo studio dell'equazione, non ci resta che scrivere per bene i vari risultati.

Se a=0\ \mbox{e}\ b=1, l'equazione è soddisfatta per ogni x\ne 0 e in quanto tale è indeterminata.

Se a=1\ \mbox{e} \ b=1, l'equazione non ammette soluzioni ed è dunque impossibile.
Ringraziano: Pi Greco, 21zuclo
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Os